Question

已知二次函数y=x²-2x-3的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．
（1）求点A、B、C、D的坐标，并在下面直角坐标系中画出该二次函数的大致图象；
（2）说出抛物线y=x²-2x-3可由抛物线y=x²如何平移得到？
（3）求四边形OCDB的面积．

Answer

（1）抛物线的解析式中，令x=0，可求出C点的坐标，令y=0，可求出A、B的坐标；将二次函数的解析式化为顶点式，即可得到顶点D的坐标；
（2）将抛物线的解析式化为顶点式，然后再根据“左加右减，上加下减”的平移规律来进行判断；
（3）由于四边形OCDB不规则，可连接OD，将四边形OCDB的面积分成△OCD和△OBD两部分求解．
【解析】
（1）当y=0时，x2-2x-3=0，
解得x1=-1，x2=3
∵A在B的左侧，
∴点A、B的坐标分别为（-1，0），（3，0）（2分）
当x=0时，y=-3
∴点C的坐标为（0，-3）（3分）
又∵y=x2-2x-3=（x-1）2-4
∴点D的坐标为（1，-4）（4分）
（也可利用顶点坐标公式求解）
画出二次函数图象如图（6分）

（2）∵y=x2-2x-3=（x-1）2-4，
∴抛物线y=x2向右平移1个单位，再向下平移4个单位可得到抛物线y=x2-2x-3；

（3）解法一：连接OD，作DE⊥y轴于点E，作DF⊥x轴于点F
S四边形OCDB=S△OCD+S△ODB=OC•DE+OB•DF
=×3×1+×3×4=（10分）
解法二：作DE⊥y轴于点E
S四边形OCDB=S梯形OEDB-S△CED=（DE+OB）•OE-CE•DE
=（1+3）×4-×1×1=（10分）
解法三：作DF⊥x轴于点F，
S四边形OCDB=S梯形OCDF+S△FDB=（OC+DF）•OF+FB•FD，
=（3+4）×1+×2×4=．（10分）