如图，已知抛物线y=-x2+x+4交x轴的正半轴于点A，交y轴于点B．（1）求...

如图，已知抛物线y=- manfen5.com 满分网

x²+x+4交x轴的正半轴于点A，交y轴于点B．
（1）求A、B两点的坐标，并求直线AB的解析式；
（2）设P（x，y）（x＞0）是直线y=x上的一点，Q是OP的中点（O是原点），以PQ为对角线作正方形PEQF，若正方形PEQF与直线AB有公共点，求x的取值范围；
（3）在（2）的条件下，记正方形PEQF与△OAB公共部分的面积为S，求S关于x的函数解析式，并探究S的最大值．

（1）抛物线的解析式中，令x=0可求出B点的坐标，令y=0可求出A点的坐标，然后用待定系数法即可求出直线AB的解析式；（2）可分别求出当点P、点Q在直线AB上时x的值，即可得到所求的x的取值范围；（3）此题首先要计算出一个关键点：即直线AB过E、F时x的值（由于直线AB与直线OP垂直，所以直线AB同时经过E、F），此时点E的坐标为（x，），代入直线AB的解析式即可得到x=； ①当2≤x＜时，直线AB与PE、PF相交，设交点为C、D；那么重合部分的面积为正方形QEPF和等腰Rt△PDC的面积差，由此可得到关于S、x的函数关系式，进而可根据函数的性质及自变量的取值范围求出S的最大值及对应的x的值； ②当≤x≤4时，直线AB与QE、QF相交，设交点为M、N；此时重合部分的面积为等腰Rt△QMN的面积，可参照①的方法求出此时S的最大值及对应的x的值；综合上述两种情况，即可比较得出S的最大值及对应的x的值．【解析】（1）令y=0，得-x2+x+4=0，即x2-2x-8=0；解得x=-2，x=4；所以A（4，0）；令x=0，得y=4，所以B（0，4）；设直线AB的解析式为y=kx+b，则有：，解得，故此直线的解析式为：y=-x+4；（2）当P（x，y）在直线AB上时，x=-x+4，解得x=2；当Q（，）在直线AB上时，=-+4，解得x=4；所以正方形PEQF与直线AB有公共点，且2≤x≤4；（3）当点E（x，）在直线AB上时，（此时点F也在直线AB上）=-x+4，解得x=； ①当2≤x＜时，直线AB分别与PE、PF有交点，设交点分别为C、D；此时PC=x-（-x+4）=2x-4，又PD=PC，所以S△PCD=PC2=2（x-2）2； S=S正方形PEQF-S△PCD=QE2-S△PCD=（x-）2-S△PCD 从而S=x2-2（x-2）2=-x2+8x-8=-（x-）2+；因为2≤＜，所以当x=时，Smax=； ②当≤x≤4时，直线AB分别与QE、QF有交点，设交点分别为M、N；此时QN=（-+4）-=-x+4，又QM=QN，所以S△QMN=QN2=（x-4）2，即S=（x-4）2；当x=时，Smax=；综合①②得：当x=时，Smax=．

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考点分析：

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如图，平面直角坐标系中，点A、B、C在x轴上，点D、E在y轴上，OA=OD=2，OC=OE=4，DB⊥DC，直线AD与经过B、E、C三点的抛物线交于F、G两点，与其对称轴交于M．点P为线段FG上一个动点（与F、G不重合），PQ∥y轴与抛物线交于点Q．
（1）求经过B、E、C三点的抛物线的解析式；
（2）是否存在点P，使得以P、Q、M为顶点的三角形与△AOD相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
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（1）求点A的坐标，并判断△PCA存在时它的形状（不要求说理）；
（2）在x轴上是否存在两条相等的线段？若存在，请一一找出，并写出它们的长度（可用含m的式子表示）；若不存在，请说明理由；
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（1）求这条抛物线的解析式；
（2）点P是线段AB上的动点，过点P作PE∥AC，交BC于点E，连接CP，当△CPE的面积最大时，求点P的坐标；
（3）探究：若点Q是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q，使△QBC成为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．