Question

如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=5，OC=3．
（1）在AB边上取一点D，将纸片沿OD翻折，使点A落在BC边上的点E处，求点D，E的坐标；
（2）若过点D，E的抛物线与x轴相交于点F（-5，0），求抛物线的解析式和对称轴方程；
（3）若（2）中的抛物线与y轴交于点H，在抛物线上是否存在点P，使△PFH的内心在坐标轴上？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
（4）若（2）中的抛物线与y轴相交于点H，点Q在线段OD上移动，作直线HQ，当点Q移动到什么位置时，O，D两点到直线HQ的距离之和最大？请直接写出此时点Q的坐标及直线HQ的解析式．

Answer

（1）本题可根据折叠的性质来求解．根据折叠的性质可得出OE=OA，可在直角三角形OCE中，用勾股定理求出CE的长，也就求出了E点的坐标．在直角三角形DBE中，还是根据折叠的性质，DA=DE，DB=3-DE，而BE可根据OA和CE的长求出，因此根据勾股定理即可求出DE即AD的长，也就得出了D点的坐标．
（2）根据D、E、F的坐标，用待定系数法即可求出抛物线的解析式，进而可求出其对称轴的方程．
（3）当内心在y轴上时，根据三角形内心的性质可知：y轴正好是∠PHF的角平分线，那么∠PHO=∠FHO=45°，设PH与x轴的交点为M，易知三角形OMH为等腰直角三角形，由此可求出M的坐标，进而可求出直线PH的解析式，联立抛物线的解析式即可求出P点的坐标．
当内心在x轴上时，解法同上．
（4）根据“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”可知，当直线HQ⊥OD时，O，D两点到直线HQ的距离之和最大，此时点Q为垂足．利用三角形相似可求得点Q的坐标．
【解析】
（1）依题意，OE=OA=5，
在Rt△OCE中，CE2=OE2-OC2=52-32=42，
∴CE=4．
设点D的坐标为（5，y），
则AD=DE=y，BD=3-y，BE=5-4=1．
在Rt△BED中，ED2=EB2+BD2，
∴y2=12+（3-y）2，
解得y=，
∴点D，E的坐标分别为（5，），（4，3）．

（2）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
∵抛物线过点D（5，），E（4，3），F（-5，0），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y=-x2+x+5．
对称轴的方程为．
∴对称轴的方程为x=．

（3）存在这样的P点，使△PFH的内心在坐标轴上．
①若△PFH的内心在y轴上，设直线PH与x轴相交于点M，
∵∠FHO=∠MHO，HO⊥FM，
∴FO=MO，
∴点M的坐标为（5，0）．
∴直线PH的解析式为y=-x+5．
解方程组，
得，．
∴点P的坐标为（7，-2）．
②若△PFH的内心在x轴上，设直线PF与y轴相交于点N，
∵∠HFO=∠NFO，FO⊥HN，
∴HO=NO，
∴点N的坐标为（0，-5），
∴直线FN的解析式为y=-x-5．
解方程组，
得，
．
∴点P的坐标为（12，-17）．
综合①②可知点P的坐标为（7，-2）或（12，-17）．

（4）（附加题）点Q的坐标为（，），
直线HQ的解析式为y=-3x+5．