Question

已知抛物线y=x²+bx+c的图象过A（0，1）、B（-1，0）两点，直线l：x=-2与抛物线相交于点C，抛物线上一点M从B点出发，沿抛物线向左侧运动．直线MA分别交对称轴和直线l于D、P两点．设直线PA为y=kx+m．用S表示以P、B、C、D为顶点的多边形的面积．
（1）求抛物线的解析式，并用k表示P、D两点的坐标；
（2）当0＜k≤1时，求S与k之间的关系式；
（3）当k＜0时，求S与k之间的关系式．是否存在k的值，使得以P、B、C、D为顶点的多边形为平行四边形？若存在，求此时k的值；若不存在，请说明理由；
（4）若规定k=0时，y=m是一条过点（0，m）且平行于x轴的直线．当k≤1时，请在下面给出的直角坐标系中画出S与k之间的函数图象．求S的最小值，并说明此时对应的以P、B、C、D为顶点的多边形的形状．

Answer

（1）将A、C的坐标代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数的值，从而确定该抛物线的解析式和对称轴方程；由于直线PA将该点A，可将其坐标代入直线PA的解析式中，即可得到m的值，易求得D、P的横坐标，将它们代入直线PA的解析式中，即可求得P、D的坐标．
（2）易求得点C（-2，1），根据（1）所得P点坐标可知，当0＜k≤1时，点P位于C点下方，根据C、P的纵坐标即可得到CP的长，而BD的长等于点D的纵坐标，即可由梯形的面积公式求得四边形PBDC的面积，由此可得关于S、k的函数关系式．
（3）当k＜0时，P点位于C点上方，求S、k的函数关系式同（2）完全相同，不同的只是CP的表达式．若以P、B、C、D为顶点的多边形为平行四边形，已知了PC∥BD，只需满足PC=BD即可，可根据这个等量关系列出关于k的方程，求出此时k的值．
（4）当k=0时，P、C重合，此时PD=DB=1，即S为定值，联立（2）（3）所得结论，即可得到k≤1时S、k的函数关系式．结合函数关系式即可画出S、k的函数图象，根据函数图象即可判断出S的最小值以及对应的k的值，进而可确定出此时多边形的形状．
【解析】
（1）由题意得，
解之得c=1，b=2，
所以二次函数的解析式为：y=x2+2x+1；
由于直线y=kx+m经过点A（0，1），
∴m=1，∴y=kx+1；
当x=-2时，y=-2k+1，
当x=-1时，y=-k+1，
∴P（-2，-2k+1），D（-1，-k+1）．

（2）在y=x2+2x+1中，当x=-2时，y=4-4+1=1，
∴点C坐标为（-2，1），
当0＜k≤1时，CP=1-（-2k+1）=2k，BD=-k+1，
∴S==k+．

（3）当k＜0时，CP=-2k+1-1=-2k，BD=-k+1，
∴S==k+；
存在k的值，使四边形PDBC是平行四边形，
当PC=DB时，即-2k=-k+1，
∴k=-1；
∴当k=-1时，四边形PDBC是平行四边形．

（4）当k≤1时，S、k的函数关系式为：
S=
由题意得S=；
图象如图所示：
由图象可知，S的最小值为S=，
此时对应的多边形是一个等腰直角三角形．