Question

已知OABC是一张矩形纸片，AB=6．
（1）如图1，在AB上取一点M，使得△CBM与△CB′M关于CM所在直线对称，点B′恰好在边OA上，且△OB′C的面积为24cm²，求BC的长；
（2）如图2．以O为原点，OA、OC所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系．求对称轴CM所在直线的函数关系式；
（3）作B′G∥AB交CM于点G，若抛物线y=x²+m过点G，求这条抛物线所对应的函数关系式．

Answer

（1）S△OB′C==24，可得OB′=8，在三角形OCB′中，根据勾股定理知B′C=BC=10；
（2）由（1）知，C点坐标为（0，6），B′A=OA-OB′=10-8=2，设AM=x，则BM=B'M=6-x，则在Rt△AB′M中，根据勾股定理可列方程，从而求出AM，即可得M点坐标，然后根据待定系数法求出直线CM的解析式．
（3）由（1）知，B点坐标为（8，0），又B′G∥AB，所以G点横坐标为8，因为G也在直线CM上，由（2）可得G点纵坐标，然后把G点坐标代入y=x2+m中，求出m，即可解答．
【解析】
（1）如图1，∵△OB′C的面积为24cm2，且OC=AB=6cm．
∴OB′=2×24÷6=8cm
∴B′C==10cm
∴BC=B′C=10cm．

（2）由（1）可知B′A=OA-OB′=10-8=2
设AM=x，则BM=B′M=6-x
由勾股定理可得方程：22+x2=（6-x）2
解得：x=
所以M（10，），C（0，6）
设CM所在直线的函数关系式为y=kx+b
则，
解得，
∴CM所在直线的函数关系式为y=-x+6．

（3）∵B′G∥AB，OB′=8
∴G点的横坐标为8，
又∵点G在直线CM上，CM关系式为y=-x+6
所以G点的纵坐标为y=
即G（8，）．
∵抛物线y=x2+m过点G，
∴
∴m=-
所求抛物线的关系式为y=x2-．