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如图,在△ABC中,∠A=90°,BC=10,△ABC的面积为25,点D为AB边...

如图,在△ABC中,∠A=90°,BC=10,△ABC的面积为25,点D为AB边上的任意一点(D不与A、B重合),过点D作DE∥BC,交AC于点E.设DE=x,以DE为折线将△ADE翻折(使△ADE落在四边形DBCE所在的平面内),所得的△A'DE与梯形DBCE重叠部分的面积记为y.
(1)用x表示△ADE的面积;
(2)求出0<x≤5时y与x的函数关系式;
(3)求出5<x<10时y与x的函数关系式;
(4)当x取何值时,y的值最大,最大值是多少?

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(1)由于DE∥BC,可得出三角形ADE和ABC相似,那么可根据面积比等于相似比的平方用三角形ABC的面积表示出三角形ADE的面积. (2)由于DE在三角形ABC的中位线上方时,重合部分的面积就是三角形ADE的面积,而DE在三角形ABC中位线下方时,重合部分就变成了梯形,因此要先看0<x≤5时,DE的位置,根据BC的长可得出三角形的中位线是5,因此自变量这个范围的取值说明了A′的落点应该在三角形ABC之内,因此y就是(1)中求出的三角形ADE的面积. (3)根据(2)可知5<x<10时,A′的落点在三角形ABC外面,可连接AA1,交DE于H,交BC于F,那么AH就是三角形ADE的高,A′F就是三角形A′DE的高,A′F就是三角形A′MN的高,那么可先求出三角形A′MN的面积,然后用三角形ADE的面积减去三角形A′MN的面积就可得出重合部分的面积.求三角形A′MN的面积时,可参照(1)的方法进行求解. (4)根据(2)(3)两个不同自变量取值范围的函数关系式,分别得出各自的函数最大值以及对应的自变量的值,然后找出最大的y的值即可. 【解析】 (1)∵DE∥BC, ∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C, ∴△ADE∽△ABC, ∴, 即S△ADE=x2; (2)∵BC=10, ∴BC边所对的三角形的中位线长为5, ∴当0<x≤5时,y=S△ADE=x2; (3)5<x<10时,点A′落在三角形的外部,其重叠部分为梯形, ∵S△A′DE=S△ADE=x2, ∴DE边上的高AH=A'H=x, 由已知求得AF=5, ∴A′F=AA′-AF=x-5, 由△A′MN∽△A′DE知=()2,S△A′MN=(x-5)2. ∴y=x2-(x-5)2=-x2+10x-25. (4)在函数y=x2中, ∵0<x≤5, ∴当x=5时y最大为:, 在函数y=-x2+10x-25中, 当x=-=时y最大为:, ∵<, ∴当x=时,y最大为:.
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考点分析:
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已知:如图所示,关于x的抛物线y=ax2+x+c(a≠0)与x轴交于点A(-2,0)、点B(6,0),与y轴交于点C.
(1)求出此抛物线的解析式,并写出顶点坐标;
(2)在抛物线上有一点D,使四边形ABDC为等腰梯形,写出点D的坐标,并求出直线AD的解析式;
(3)在(2)中的直线AD交抛物线的对称轴于点M,抛物线上有一动点P,x轴上有一动点Q.是否存在以A、M、P、Q为顶点的平行四边形?如果存在,请直接写出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.

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已知:抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C.其中点A在x轴的负半轴上,点C在y轴的负半轴上,线段OA、OC的长(OA<OC)是方程x2-5x+4=0的两个根,且抛物线的对称轴是直线x=1.
(1)求A、B、C三点的坐标;
(2)求此抛物线的解析式;
(3)若点D是线段AB上的一个动点(与点A、B不重合),过点D作DE∥BC交AC于点E,连接CD,设BD的长为m,△CDE的面积为S,求S与m的函数关系式,并写出自变量m的取值范围.S是否存在最大值?若存在,求出最大值并求此时D点坐标;若不存在,请说明理由.

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如图,二次函数y=x2+px+q(p<0)的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C(0,-1),△ABC的面积为manfen5.com 满分网
(1)求该二次函数的关系式;
(2)过y轴上的一点M(0,m)作y轴的垂线,若该垂线与△ABC的外接圆有公共点,求m的取值范围;
(3)在该二次函数的图象上是否存在点D,使四边形ABCD为直角梯形?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.

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如图,抛物线y=ax2+bx+c的交x轴于点A和点B(-2,0),与y轴的负半轴交于点C,且线段OC的长度是线段OA的2倍,抛物线的对称轴是直线x=1.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若过点(0,-5)且平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点,以线段MN为一边抛物线上与M、N不重合的任意一点P(x,y)为顶点作平行四边形,若平行四边形的面积为S,请你求出S关于点P的纵坐标y的函数解析式;
(3)当0<x≤manfen5.com 满分网时,(2)中的平行四边形的面积是否存在最大值?若存在,请求出来;若不存在,请说明理由.

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如图,已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E,顶点M的坐标为(2,4);矩形ABCD的顶点A与点O重合,AD、AB分别在x轴、y轴上,且AD=2,AB=3.
(1)求该抛物线所对应的函数关系式;
(2)将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从如图所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动,同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动,设它们运动的时间为t秒(0≤t≤3),直线AB与该抛物线的交点为N(如图2所示).
①当t=manfen5.com 满分网时,判断点P是否在直线ME上,并说明理由;
②设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S,试问S是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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