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已知:t1,t2是方程t2+2t-24=0的两个实数根,且t1<t2,抛物线y=manfen5.com 满分网x2+bx+c的图象经过点A(t1,0),B(0,t2).
(1)求这个抛物线的解析式;
(2)设点P(x,y)是抛物线上一动点,且位于第三象限,四边形OPAQ是以OA为对角线的平行四边形,求平行四边形OPAQ的面积S与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(3)在(2)的条件下,当平行四边形OPAQ的面积为24时,是否存在这样的点P,使▱OPAQ为正方形?若存在,求出P点坐标;若不存在,说明理由.

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(1)解方程t2+2t+24=0,可得A(-6,0),B(0,4),再利用待定系数法求二次函数的解析式; (2)设点P(x,y),利用x,y表示四边形的边长求得面积S=-4(x+)2+25,利用面积是正数的性质求出x的取值范围是-6<x<-1; (3)把S=24代入解析式S=-4(x+)2+25中求得y的值,从而得到点P的坐标,根据实际意义进行值的取舍,讨论可知不存在这样的点P,使四边形OPAQ为正方形. 【解析】 (1)t2+2t-24=0,(t+6)(t-4)=0,t1=-6,t2=4(1分) ∵t1<t2, ∴A(-6,0),B(0,4)(2分) ∵抛物线y=x2+bx+c经过A,B两点. ∴, 解得, ∴y=x2+x+4.(4分) (2)∵点P(x,y)在抛物线上,位于第三象限, ∴y<0,即-y>0. 又∵S=2S△APO=2××|OA|•|y|=|OA|•|y|=6|y|, ∴S=-6y(6分) =-6(x2+x+4) =-4(x2+7x+6) =-4(x+)2+25(7分) 令y=0时,x2+x+4=0, 解得x1=-6,x2=-1. ∵抛物线与x轴的交点坐标为(-6,0),(-1,0), ∴x的取值范围为-6<x<-1.(8分) (3)当S=24时,得24=-4(x+)2+25, 解得:x1=-3,x2=-4(9分) 代入解析式得:y1=-4,y2=-4. ∴点P的坐标为(-3,-4),(-4,-4) 当点P为(-3,-4)时,满足PO=PA,此时,平行四边形OPAQ是菱形. 当点P为(-4,-4)时,不满足PO=PA,此时,平行四边形OPAQ不是菱形.(10分) 而要使平行四边形OPAQ为正方形,那么,一定有OA⊥PQ,AO=PQ, 此时,点P的坐标为(-3,-3),而(-3,-3)不在抛物线y=x2+x+4上, 故不存在这样的点P,使四边形OPAQ为正方形.(12分)
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考点分析:
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如图所示,将矩形OABC沿AE折叠,使点O恰好落在BC上F处,以CF为边作正方形CFGH,延长BC至M,使CM=|CE-EO|,再以CM、CO为边作矩形CMNO.
(1)试比较EO、EC的大小,并说明理由;
(2)令m=manfen5.com 满分网,请问m是否为定值?若是,请求出m的值;若不是,请说明理由;
(3)在(2)的条件下,若CO=1,CE=manfen5.com 满分网,Q为AE上一点且QF=manfen5.com 满分网,抛物线y=mx2+bx+c经过C、Q两点,请求出此抛物线的解析式;
(4)在(3)的条件下,若抛物线y=mx2+bx+c与线段AB交于点P,试问在直线BC上是否存在点K,使得以P、B、K为顶点的三角形与△AEF相似?若存在,请求直线KP与y轴的交点T的坐标;若不存在,请说明理由.

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如图,在△ABC中,∠A=90°,BC=10,△ABC的面积为25,点D为AB边上的任意一点(D不与A、B重合),过点D作DE∥BC,交AC于点E.设DE=x,以DE为折线将△ADE翻折(使△ADE落在四边形DBCE所在的平面内),所得的△A'DE与梯形DBCE重叠部分的面积记为y.
(1)用x表示△ADE的面积;
(2)求出0<x≤5时y与x的函数关系式;
(3)求出5<x<10时y与x的函数关系式;
(4)当x取何值时,y的值最大,最大值是多少?

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已知:如图所示,关于x的抛物线y=ax2+x+c(a≠0)与x轴交于点A(-2,0)、点B(6,0),与y轴交于点C.
(1)求出此抛物线的解析式,并写出顶点坐标;
(2)在抛物线上有一点D,使四边形ABDC为等腰梯形,写出点D的坐标,并求出直线AD的解析式;
(3)在(2)中的直线AD交抛物线的对称轴于点M,抛物线上有一动点P,x轴上有一动点Q.是否存在以A、M、P、Q为顶点的平行四边形?如果存在,请直接写出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.

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已知:抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C.其中点A在x轴的负半轴上,点C在y轴的负半轴上,线段OA、OC的长(OA<OC)是方程x2-5x+4=0的两个根,且抛物线的对称轴是直线x=1.
(1)求A、B、C三点的坐标;
(2)求此抛物线的解析式;
(3)若点D是线段AB上的一个动点(与点A、B不重合),过点D作DE∥BC交AC于点E,连接CD,设BD的长为m,△CDE的面积为S,求S与m的函数关系式,并写出自变量m的取值范围.S是否存在最大值?若存在,求出最大值并求此时D点坐标;若不存在,请说明理由.

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如图,二次函数y=x2+px+q(p<0)的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C(0,-1),△ABC的面积为manfen5.com 满分网
(1)求该二次函数的关系式;
(2)过y轴上的一点M(0,m)作y轴的垂线,若该垂线与△ABC的外接圆有公共点,求m的取值范围;
(3)在该二次函数的图象上是否存在点D,使四边形ABCD为直角梯形?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.

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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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