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已知:如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴、y轴分别相交于点A(-1,0)、B...

已知:如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴、y轴分别相交于点A(-1,0)、B(0,3)两点,其顶点为D.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若该抛物线与x轴的另一个交点为E.求四边形ABDE的面积;
(3)△AOB与△BDE是否相似?如果相似,请予以证明;如果不相似,请说明理由.
(注:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为manfen5.com 满分网

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(1)由于抛物线的解析式中只有两个未知数,因此可根据A,B两点的坐标,用待定系数法求出抛物线的解析式. (2)由于四边形ABDE不是规则的四边形,因此可将ABDE分割成几个规则的图形后再进行求解.可设抛物线的对称轴与x轴的交点为F,那么四边形ABDE的面积=三角形AOB的面积+直角梯形BOFD的面积+三角形DFE的面积,根据抛物线的解析式可求得D、E两点的坐标,因此就可求出DF、OF、EF的长,根据A、B两点的坐标可得出OA、OB的长,那么求这些图形面积的相关线段的长就都已求出,进而可得出四边形ABDE的面积. (3)可先根据B、D、E的坐标,求出BD、DE、BE的长,由于三角形AOB是直角三角形,要想判定两三角形是否相似,就要先判断三角形BDE是否为直角三角形,可根据BD、DE、BE三边的长以及勾股定理,来判断出三角形BDE是否为直角三角形,如果是直角三角形,那么找出三角形BDE中的直角,然后看夹直角的两组对应边是否成比例即可得出两三角形是否相似. 【解析】 (1)由已知得: 解得c=3,b=2 ∴抛物线的线的解析式为y=-x2+2x+3. (2)由顶点坐标公式得顶点坐标为(1,4) 所以对称轴为x=1,A,E关于x=1对称, 所以E(3,0) 设对称轴与x轴的交点为F 所以四边形ABDE的面积=S△ABO+S梯形BOFD+S△DFE=AO•BO+(BO+DF)•OF+EF•DF =×1×3+(3+4)×1+×2×4 =9 (3)相似.如图,连接AB、BD、DE,过点D作DF⊥x轴于点F,过点B作BG⊥DF于点G. BD= BE= DE= 所以DE2=20,即:BD2+BE2=DE2, 所以△BDE是直角三角形,所以∠AOB=∠DBE=90°,且, 所以△AOB∽△DEB.
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考点分析:
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如图1,已知四边形OABC中的三个顶点坐标为O(0,0),A(0,n),C(m,0).动点P从点O出发依次沿线段OA,AB,BC向点C移动,设移动路程为z,△OPC的面积S随着z的变化而变化的图象如图2所示.m,n是常数,m>1,n>0.
(1)请你确定n的值和点B的坐标;
(2)当动点P是经过点O,C的抛物线y=ax2+bx+c的顶点,且在双曲线y=manfen5.com 满分网上时,求这时四边形OABC的面积.
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②当2<t<4时,求S关于t的函数解析式;
(2)在第(1)题的条件下,当直线l向左或向右平移时(包括l与直线BC重合),在直线AB上是否存在点P,使△PDE为等腰直角三角形?若存在,请直接写出所有满足条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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(3)开动脑筋想一想,相信你能求出经过点D的“蛋圆”切线的解析式.
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(1)求抛物线的解析式;
(2)求出点C的坐标,并画出抛物线的大致图象;
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(3)如果点P在x轴上,且△ABP是等腰三角形,求点P的坐标.

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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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