Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且当x=O和x=4时，y的值相等．直线y=4x-16与这条抛物线相交于两点，其中一点的横坐标是3，另一点是这条抛物线的顶点M．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）P为线段OM上一点，过点P作PQ⊥x轴于点Q．若点P在线段OM上运动（点P不与点O重合，但可以与点M重合），设OQ的长为t，四边形PQCO的面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；
（3）随着点P的运动，四边形PQCO的面积S有最大值吗？如果S有最大值，请求出S的最大值，并指出点Q的具体位置和四边形PQCO的特殊形状；如果S没有最大值，请简要说明理由；
（4）随着点P的运动，是否存在t的某个值，能满足PO=OC？如果存在，请求出t的值．

Answer

（1）x=O和x=4时，y的值相等，即可得到函数的对称轴是x=2，把x=2和x=3分别代入直线y=4x-16就可以求出抛物线上的两个点的坐标，并且其中一点是顶点，利用待定系数法，设出函数的顶点式一般形式，就可以求出函数的解析式；
（2）根据待定系数法可以求出直线OM的解析式，设OQ的长为t，即P，Q的横坐标是t，把x=t代入直线OM的解析式，就可以求出P点的纵坐标，得到PQ的长，四边形PQCO的面积S=S△COQ+S△OPQ，很据三角形的面积公式就可以得到函数解析式；
（3）从图象可看出，随着点P由O→M运动，△COQ的面积与△OPQ的面积在不断增大，即S不断变大，显当然点P运动到点M时，S最值；
（4）在直角△OPQ中，根据勾股定理就可以求出点P的坐标．
【解析】
（1）∵当x=0和x=4时，y的值相等，
∴c=16a+4b+c，（1分）
∴b=-4a，
∴x=-=-=2
将x=3代入y=4x-16，得y=-4，
将x=2代入y=4x-16，得y=-8．（2分）
∴设抛物线的解析式为y=a（x-2）2-8
将点（3，-4）代入，得-4=a（x-2）2-8，
解得a=4．
∴抛物线y=4（x-2）2-8，即y=4x2-16x+8．（3分）

（2）设直线OM的解析式为y=kx，将点M（2，-8）代入，得k=-4，
∴y=-4x．（4分）
则点P（t，-4t），PQ=4t，而OC=8，OQ=t．
S=S△COQ+S△OPQ=×8×t+×t×4t=2t2+4t（5分）
t的取值范围为：0＜t≤2（6分）

（3）随着点P的运动，四边形PQCO的面积S有最大值．
从图象可看出，随着点P由O→M运动，△COQ的面积与△OPQ的面积在不断增大，
即S不断变大，显然当点P运动到点M时，S值最大（7分）
此时t=2时，点Q在线段AB的中点上（8分）
因而S=×2×8+×2×8=16．
当t=2时，OC=MQ=8，OC∥MQ，
∴四边形PQCO是平行四边形．（9分）

（4）随着点P的运动，存在t=，能满足PO=OC（10分）
设点P（t，-4t），PQ=4T，OQ=t．
由勾股定理，得OP2=（4t）2+t2=17t2．
∵PO=OC，
∴17t2=82，t1=＜2，t2=-（不合题意）
∴当t=时，PO=OC．（11分）