Question

如图所示，在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AD⊥DB，AD=DC=CB，AB=4．以AB所在直线为x轴，过D且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系．
（1）求∠DAB的度数及A、D、C三点的坐标；
（2）求过A、D、C三点的抛物线的解析式及其对称轴L；
（3）若P是抛物线的对称轴L上的点，那么使△PDB为等腰三角形的点P有几个？（不必求点P的坐标，只需说明理由）

Answer

（1）已知AD=DC=CB，根据等边对等角，以及平行线的性质．可以得到，∠CDB=∠CBD=∠DBA．若设，∠CDB=∠CBD=∠DBA=x度，则∠ABC=2x度，∠C=90+x度．根据平行线的性质同旁内角互补，就可以求出x的值．在直角△ABD和直角△AOD中，根据三角函数，就可以求出OA、OD的长度，就可以得到A，D，C的坐标．
（2）已知A，D，C的坐标，根据待定系数法就可以求出抛物线的解析式以及对称轴．
（3）△PDB为等腰三角形，应分BD是底边，和BD是腰两种情况进行讨论．而BD是腰又要分D是顶角的顶点和B是顶角的顶点两种情况进行讨论．
【解析】
（1）∵DC∥AB，AD=DC=CB，
∴∠CDB=∠CBD=∠DBA （5分）
∠DAB=∠CBA，
∴∠DAB=2∠DBA，（1分
∠DAB+∠DBA=90°，
∴∠DAB=60°（5分）
∠DBA=30°，
∵AB=4，
∴DC=AD=2，（2分）
Rt△AOD，OA=1，OD=，AD=2．（5分）
∴A（-1，0），D（0，），C（2，）．（4分）

（2）根据抛物线和等腰梯形的对称性知，满足条件的抛物线必过点A（-1，0），B（3，0），
故可设所求为y=a（x+1）（x-3）（6分）
将点D（0，）的坐标代入上式得，a=．
所求抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3），（7分）
其对称轴L为直线x=1．（8分）

（3）△PDB为等腰三角形，有以下三种情况：
①因直线L与DB不平行，DB的垂直平分线与L仅有一个交点P1，P1D=P1B，
△P1DB为等腰三角形；（9分）
②因为以D为圆心，DB为半径的圆与直线L有两个交点P2、P3，DB=DP2，DB=DP3，△P2DB，△P3DB为等腰三角形；
③与②同理，L上也有两个点P4、P5，使得BD=BP4，BD=BP5．（10分）
由于以上各点互不重合，所以在直线L上，使△PDB为等腰三角形的点P有5个．