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如图1,点A是直线y=kx(k>0,且k为常数)上一动点,以A为顶点的抛物线y=...

如图1,点A是直线y=kx(k>0,且k为常数)上一动点,以A为顶点的抛物线y=(x-h)2+m交直线y=kx于另一点E,交y轴于点F,抛物线的对称轴交x轴于点B,交直线EF于点C.(点A,E,F两两不重合)
(1)请写出h与m之间的关系;(用含的k式子表示)
(2)当点A运动到使EF与x轴平行时(如图2),求线段AC与OF的比值;
(3)当点A运动到使点F的位置最低时(如图3),求线段AC与OF的比值.
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(1)根据点A在直线y=kx上,即可得出h,m的关系式. (2)当EF∥x轴时,根据抛物线的对称性可知:FC=CE即C是EF的中点,那么AC就是三角形OEF的中位线,因此AC=OF. (也可通过联立直线OA的解析式和抛物线的解析式得出E点的坐标,当EF∥x轴时,E、F纵坐标相同,以此来求出h,k的关系,进而表示出A、C、E、F四点坐标以此来求出AC与OF的比例关系). (3)先求出F到最低位置时,函数的解析式(F位置最低时,纵坐标值最小).联立两函数的解析式求出A、E的坐标,然后根据相似三角形OEF和AEC求出OF,AC的比例关系. 【解析】 (1)∵抛物线顶点(h,m)在直线y=kx上, ∴m=kh; (2)方法一:解方程组, 将(2)代入(1)得到:(x-h)2+kh=kx, 整理得:(x-h)[(x-h)-k]=0, 解得:x1=h,x2=k+h, 代入到方程(2)y1=hy2=k2+hk, 所以点E坐标是(k+h,k2+hk), 当x=0时,y=(x-h)2+m=h2+kh, ∴点F坐标是(0,h2+kh), 当EF和x轴平行时,点E,F的纵坐标相等, 即k2+kh=h2+kh, 解得:h=k(h=-k舍去,否则E,F,O重合), 此时点E(2k,2k2),F(0,2k2),C(k,2k2),A(k,k2), ∴AC:OF=k2:2k2=1:2.(3分) 方法二:当x=0时,y=(x-h)2+m=h2+kh,即F(0,h2+kh), 当EF和x轴平行时,点E,F的纵坐标相等, 即点E的纵坐标为h2+kh, 当y=h2+kh时,代入y=(x-h)2+kh, 解得x=2h(0舍去,否则E,F,O重合), 即点E坐标为(2h,h2+kh),(1分) 将此点横纵坐标代入y=kx得到h=k(h=0舍去,否则点E,F,O重合), 此时点E(2k,2k2),F(0,2k2),C(k,2k2),A(k,k2), ∴AC:OF=k2:2k2=1:2. 方法三:∵EF与x轴平行, 根据抛物线对称性得到FC=EC, ∵AC∥FO, ∴∠ECA=∠EFO,∠FOE=∠CAE, ∴△OFE∽△ACE, ∴AC:OF=EC:EF=1:2. (3)当点F的位置处于最低时,其纵坐标h2+kh最小, ∵h2+kh=[h2+kh+()2]-, 当h=,点F的位置最低,此时F(0,-), 解方程组 得E(,),A(-,-). 方法一:设直线EF的解析式为y=px+q, 将点E(,),F(0,-)的横纵坐标分别代入得, 解得:p=,q=-, ∴直线EF的解析式为y=x-, 当x=-时,y=-k2,即点C的坐标为(-,-k2), ∵点A(-,-), ∴AC=,而OF=, ∴AC=2OF,即AC:OF=2. 方法二:∵E(,),A(-,-), ∴点A,E关于点O对称, ∴AO=OE, ∵AC∥FO, ∴∠ECA=∠EFO,∠FOE=∠CAE, ∴△OFE∽△ACE, ∴AC:OF=AE:OE=2:1.
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考点分析:
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已知平面直角坐标系中,A、B、C三点的坐标分别是(0,2)、(0,-2),(4,-2).
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附加:(4)除(3)中所求的P点外,在抛物线上是否还存在其它的点P使得△ABP为等腰三角形?若存在,请求出一共有几个满足条件的点P(要求简要说明理由,但不证明);若不存在这样的点P,请说明理由.

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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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