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施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道,其高度为6米,宽度OM为12米,现在O...

施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道,其高度为6米,宽度OM为12米,现在O点为原点,OM所在直线为x轴建立直角坐标系(如图所示).
(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标;
(2)求出这条抛物线的函数解析式;
(3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD,使A、D点在抛物线上,B、C点在地面OM上.为了筹备材料,需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少?请你帮施工队计算一下.

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确定了抛物线的顶点式,可以设抛物线的顶点式,又过原点(0,0),就可以确定抛物线解析式;设OB=x,由对称性得CM=x,这样就可以用含x的式子表示AB、AD、CD了,为求三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值,提供依据. 【解析】 (1)M(12,0),P(6,6) (2)∵顶点坐标(6,6) ∴设y=a(x-6)2+6(a≠0) 又∵图象经过(0,0) ∴0=a(0-6)2+6 ∴ ∴这条抛物线的函数解析式为y=-(x-6)2+6,即y=-x2+2x; (3)设A(x,y) ∴A(x,-(x-6)2+6) ∵四边形ABCD是矩形, ∴AB=DC=-(x-6)2+6, 根据抛物线的轴对称性,可得:OB=CM=x, ∴BC=12-2x,即AD=12-2x, ∴令L=AB+AD+DC=2[-(x-6)2+6]+12-2x=-x2+2x+12=-(x-3)2+15. ∴当x=3,L最大值为15 ∴AB、AD、DC的长度之和最大值为15米.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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