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如图,OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,O为原点,点A在x轴的正半轴...

如图,OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,O为原点,点A在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,OA=5,OC=3.
(1)在AB边上取一点D,将纸片沿OD翻折,使点A落在BC边上的点E处,求点D,E的坐标;
(2)若过点D,E的抛物线与x轴相交于点F(-5,0),求抛物线的解析式和对称轴方程;
(3)若(2)中的抛物线与y轴交于点H,在抛物线上是否存在点P,使△PFH的内心在坐标轴上?若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.
(4)若(2)中的抛物线与y轴相交于点H,点Q在线段OD上移动,作直线HQ,当点Q移动到什么位置时,O,D两点到直线HQ的距离之和最大?请直接写出此时点Q的坐标及直线HQ的解析式.
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(1)本题可根据折叠的性质来求解.根据折叠的性质可得出OE=OA,可在直角三角形OCE中,用勾股定理求出CE的长,也就求出了E点的坐标.在直角三角形DBE中,还是根据折叠的性质,DA=DE,DB=3-DE,而BE可根据OA和CE的长求出,因此根据勾股定理即可求出DE即AD的长,也就得出了D点的坐标. (2)根据D、E、F的坐标,用待定系数法即可求出抛物线的解析式,进而可求出其对称轴的方程. (3)当内心在y轴上时,根据三角形内心的性质可知:y轴正好是∠PHF的角平分线,那么∠PHO=∠FHO=45°,设PH与x轴的交点为M,易知三角形OMH为等腰直角三角形,由此可求出M的坐标,进而可求出直线PH的解析式,联立抛物线的解析式即可求出P点的坐标. 当内心在x轴上时,解法同上. (4)根据“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短”可知,当直线HQ⊥OD时,O,D两点到直线HQ的距离之和最大,此时点Q为垂足.利用三角形相似可求得点Q的坐标. 【解析】 (1)依题意,OE=OA=5, 在Rt△OCE中,CE2=OE2-OC2=52-32=42, ∴CE=4. 设点D的坐标为(5,y), 则AD=DE=y,BD=3-y,BE=5-4=1. 在Rt△BED中,ED2=EB2+BD2, ∴y2=12+(3-y)2, 解得y=, ∴点D,E的坐标分别为(5,),(4,3). (2)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c, ∵抛物线过点D(5,),E(4,3),F(-5,0), ∴, 解得, ∴抛物线的解析式为y=-x2+x+5. 对称轴的方程为. ∴对称轴的方程为x=. (3)存在这样的P点,使△PFH的内心在坐标轴上. ①若△PFH的内心在y轴上,设直线PH与x轴相交于点M, ∵∠FHO=∠MHO,HO⊥FM, ∴FO=MO, ∴点M的坐标为(5,0). ∴直线PH的解析式为y=-x+5. 解方程组, 得,. ∴点P的坐标为(7,-2). ②若△PFH的内心在x轴上,设直线PF与y轴相交于点N, ∵∠HFO=∠NFO,FO⊥HN, ∴HO=NO, ∴点N的坐标为(0,-5), ∴直线FN的解析式为y=-x-5. 解方程组, 得, . ∴点P的坐标为(12,-17). 综合①②可知点P的坐标为(7,-2)或(12,-17). (4)(附加题)点Q的坐标为(,), 直线HQ的解析式为y=-3x+5.
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考点分析:
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如图,平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH,点H的坐标为(-8,0),点N的坐标为(-6,-4).
(1)画出直角梯形OMNH绕点O旋转180°的图形OABC,并写出顶点A,B,C的坐标(点M的对应点为A,点N的对应点为B,点H的对应点为C);
(2)求出过A,B,C三点的抛物线的表达式;
(3)截取CE=OF=AD=m,且E,F,D分别在线段CO,OA,AB上,求四边形BEFD的面积S与m之间的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;面积S是否存在最小值?若存在,请求出这个最小值;若不存在,请说明理由;
(4)在(3)的情况下,四边形BEFD是否存在邻边相等的情况?若存在,请直接写出此时m的值,并指出相等的邻边;若不存在,说明理由.
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如图,抛物线与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点,且x1>x2,与y轴交于点C(0,4),其中x1,x2是方程x2-2x-8=0的两个根.
(1)求这条抛物线的解析式;
(2)点P是线段AB上的动点,过点P作PE∥AC,交BC于点E,连接CP,当△CPE的面积最大时,求点P的坐标;
(3)探究:若点Q是抛物线对称轴上的点,是否存在这样的点Q,使△QBC成为等腰三角形?若存在,请直接写出所有符合条件的点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

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如图,在平面直角坐标系中,已知点A坐标为(2,4),直线x=2与x轴相交于点B,连接OA,抛物线y=x2从点O沿OA方向平移,与直线x=2交于点P,顶点M到A点时停止移动.
(1)求线段OA所在直线的函数解析式;
(2)设抛物线顶点M的横坐标为m,
①用m的代数式表示点P的坐标;
②当m为何值时,线段PB最短;
(3)当线段PB最短时,相应的抛物线上是否存在点Q,使△QMA的面积与△PMA的面积相等?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

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嘉兴月河桥拱形可以近似看作抛物线的一部分.在大桥截面1:1000的比例图上,跨度AB=5cm,拱高OC=0.9cm,线段DE表示河流宽度,DE∥AB,如图(1)在比例图上,以直线AB为x轴,抛物线的对称轴为y轴,以1cm作为数轴的单位长度,建立平面直角坐标系,如图(2).
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(1)求出图(2)上以这一部分抛物线为图象的函数解析式,并写出自变量的取值范围;
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(1)求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(2)满足条件的花园面积能达到200m2吗?若能,求出此时x的值,若不能,说明理由;
(3)根据(1)中求得的函数关系式,判断当x取何值时,花园的面积最大,最大面积是多少?
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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