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如图,现有两块全等的直角三角形纸板Ⅰ,Ⅱ,它们两直角边的长分别为1和2.将它们分...

如图,现有两块全等的直角三角形纸板Ⅰ,Ⅱ,它们两直角边的长分别为1和2.将它们分别放置于平面直角坐标系中的△AOB,△COD处,直角边OB,OD在x轴上.一直尺从上方紧靠两纸板放置,让纸板Ⅰ沿直尺边缘平行移动.当纸板Ⅰ移动至△PEF处时,设PE,PF与OC分别交于点M,N,与x轴分别交于点G,H.
(1)求直线AC所对应的函数关系式;
(2)当点P是线段AC(端点除外)上的动点时,试探究:
①点M到x轴的距离h与线段BH的长是否总相等?请说明理由;
②两块纸板重叠部分(图中的阴影部分)的面积S是否存在最大值?若存在,求出这个最大值及S取最大值时点P的坐标;若不存在,请说明理由.

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(1)根据直角三角板的直角边长分别为1和2可知:AB=OD=2,OB=CD=1.即A点的坐标是(1,2);C点的坐标是(2,1).可根据A、C的坐标用待定系数法求出直线AC的函数解析式. (2)①M到x轴的距离就是M的纵坐标,而BH的长就是P的横坐标减去OB的长,可先根据直线AC的解析式设出P点的坐标,那么可得出BH的长.根据∠GPH的正切值,可表示出GH的长,也就求出了G点的坐标.然后求点M的纵坐标.可先根据OC所在直线的解析式设出M点的坐标,然后将M点的坐标代入直线PG的解析式中(可根据P,G两点的坐标求得)可得出M纵坐标的表达式,然后同BH的表达式进行比较即可得出M到x轴的距离是否与BH相等. ②根据①我们可得出M、N、G三点的坐标,然后根据阴影部分的面积=△ONH的面积-△OMG的面积.即可得出关于S的函数解析式.然后根据函数的性质即可求出S的最大值以及对应的P的坐标. 【解析】 (1)由直角三角形纸板的两直角边的长为1和2, 知A,C两点的坐标分别为(1,2),(2,1). 设直线AC所对应的函数关系式为y=kx+b. 有 解得 ∴直线AC所对应的函数关系式为y=-x+3. (2)①点M到x轴距离h与线段BH的长总相等. ∵点C的坐标为(2,1), ∴直线OC所对应的函数关系式为y=x. 又∵点P在直线AC上, ∴可设点P的坐标为(a,3-a). 过点M作x轴的垂线,设垂足为点K,则有MK=h. ∵点M在直线OC上, ∴有M(2h,h). ∵纸板为平行移动, 故有EF∥OB,即EF∥GH. 又EF⊥PF,∴PH⊥GH. 故Rt△PHG∽Rt△PFE,可得. 故GH=PH=(3-a). ∴OG=OH-GH=a-(3-a)=(a-1). 故G点坐标为((a-1),0). 设直线PG所对应的函数关系式为y=cx+d, 则有 解得 ∴直线PG所对的函数关系式为y=2x+(3-3a) 将点M的坐标代入,可得h=4h+(3-3a). 解得h=a-1. 而BH=OH-OB=a-1,从而总有h=BH. ②由①知,点M的坐标为(2a-2,a-1),点N的坐标为(a,a). S=S△ONH-S△OMG=NH×OH-OG×h=a×a-×(a-1) =-a2+a-. 当a=时,S有最大值,最大值为. S取最大值时点P的坐标为.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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