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如图,平面直角坐标系中,四边形OABC为矩形,点A,B的坐标分别为(4,0),(...

如图,平面直角坐标系中,四边形OABC为矩形,点A,B的坐标分别为(4,0),(4,3),动点M,N分别从O,B同时出发.以每秒1个单位的速度运动.其中,点M沿OA向终点A运动,点N沿BC向终点C运动.过点M作MP⊥OA,交AC于P,连接NP,已知动点运动了x秒.
(1)P点的坐标为多少(用含x的代数式表示);
(2)试求△NPC面积S的表达式,并求出面积S的最大值及相应的x值;
(3)当x为何值时,△NPC是一个等腰三角形?简要说明理由.

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(1)求P点的坐标,也就是求OM和PM的长,已知了OM的长为x,关键是求出PM的长,方法不唯一,①可通过PM∥OC得出的对应成比例线段来求; ②也可延长MP交BC于Q,先在直角三角形CPQ中根据CQ的长和∠ACB的正切值求出PQ的长,然后根据PM=AB-PQ来求出PM的长.得出OM和PM的长,即可求出P点的坐标. (2)可按(1)②中的方法经求出PQ的长,而CN的长可根据CN=BC-BN来求得,因此根据三角形的面积计算公式即可得出S,x的函数关系式. (3)本题要分类讨论: ①当CP=CN时,可在直角三角形CPQ中,用CQ的长即x和∠ABC的余弦值求出CP的表达式,然后联立CN的表达式即可求出x的值; ②当CP=PN时,那么CQ=QN,先在直角三角形CPQ中求出CQ的长,然后根据QN=CN-CQ求出QN的表达式,根据题设的等量条件即可得出x的值. ③当CN=PN时,先求出QP和QN的长,然后在直角三角形PNQ中,用勾股定理求出PN的长,联立CN的表达式即可求出x的值. 【解析】 (1)过点P作PQ⊥BC于点Q, 有题意可得:PQ∥AB, ∴△CQP∽△CBA, ∴=, ∴=, 解得:QP=x, ∴PM=3-x, 由题意可知,C(0,3),M(x,0),N(4-x,3), P点坐标为(x,3-x). (2)设△NPC的面积为S,在△NPC中,NC=4-x, NC边上的高为,其中,0≤x≤4. ∴S=(4-x)×x=(-x2+4x) =-(x-2)2+. ∴S的最大值为,此时x=2. (3)延长MP交CB于Q,则有PQ⊥BC. ①若NP=CP, ∵PQ⊥BC, ∴NQ=CQ=x. ∴3x=4, ∴x=. ②若CP=CN,则CN=4-x,PQ=x,CP=x,4-x=x, ∴x=; ③若CN=NP,则CN=4-x. ∵PQ=x,NQ=4-2x, ∵在Rt△PNQ中,PN2=NQ2+PQ2, ∴(4-x)2=(4-2x)2+(x)2, ∴x=. 综上所述,x=,或x=,或x=.
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考点分析:
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如图所示,在平面直角坐标系xOy中,正方形OABC的边长为2cm,点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上,抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B,且12a+5c=0.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如果点P由点A开始沿AB边以2cm/s的速度向点B移动,同时点Q由点B开始沿BC边以1cm/s的速度向点C移动.
①移动开始后第t秒时,设S=PQ2(cm2),试写出S与t之间的函数关系式,并写出t的取值范围;
②当S取得最小值时,在抛物线上是否存在点R,使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出R点的坐标;如果不存在,请说明理由.

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已知抛物线y1=x2-2x+c的部分图象如图1所示.
(1)求c的取值范围;
(2)若抛物线经过点(0,-1),试确定抛物线y1=x2-2x+c的解析式;
(3)若反比例函数manfen5.com 满分网的图象经过(2)中抛物线上点(1,a),试在图2所示直角坐标系中,画出该反比例函数及(2)中抛物线的图象,并利用图象比较y1与y2的大小.

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如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12,BC=16,动点P从点A出发沿AC边向点C以每秒3个单位长的速度运动,动点Q从点C出发沿CB边向点B以每秒4个单位长的速度运动.P,Q分别从点A,C同时出发,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动.在运动过程中,△PCQ关于直线PQ对称的图形是△PDQ.设运动时间为t(秒).
(1)设四边形PCQD的面积为y,求y与t的函数关系式;
(2)t为何值时,四边形PQBA是梯形;
(3)是否存在时刻t,使得PD∥AB?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由;
(4)通过观察、画图或折纸等方法,猜想是否存在时刻t,使得PD⊥AB?若存在,请估计t的值在括号中的哪个时间段内(0≤t≤1;1<t≤2;2<t≤3;3<t≤4);若不存在,请简要说明理由.

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二次函数y=manfen5.com 满分网x2的图象如图所示,过y轴上一点M(0,2)的直线与抛物线交于A,B两点,过点A,B分别作y轴的垂线,垂足分别为C,D.
(1)当点A的横坐标为-2时,求点B的坐标;
(2)在(1)的情况下,分别过点A,B作AE⊥x轴于E,BF⊥x轴于F,在EF上是否存在点P,使∠APB为直角?若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)当点A在抛物线上运动时(点A与点O不重合),求AC•BD的值.

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在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,BC=6,等边三角形DEF从初始位置(点E与点B重合,EF落在BC上,如图1所示)在线段BC上沿BC方向以每秒1个单位的速度平移,DE、DF分别与AB相交于点M、N.当点F运动到点C时,△DEF终止运动,此时点D恰好落在AB上,设△DEF平移的时间为x.
(1)求△DEF的边长;
(2)求M点、N点在BA上的移动速度;
(3)在△DEF开始运动的同时,如果点P以每秒2个单位的速度从D点出发沿DE⇒EF运动,最终运动到F点.若设△PMN的面积为y,求y与x的函数关系式,写出它的定义域;并说明当P点在何处时,△PMN的面积最大?
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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