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如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点. (1...

如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)设(1)题中的抛物线上有一个动点P,当点P在抛物线上滑动到什么位置时,满足S△PAB=8,并求出此时P点的坐标;
(3)设(1)题中的抛物线交y轴于C点,在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△QAC的周长最小?若存在,求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由.

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(1)已知了抛物线过B、C两点,而抛物线的解析式中也只有两个待定系数,因此可将B、C的坐标代入抛物线的解析式中,即可求出待定系数的值,也就得出了二次函数的解析式. (2)根据(1)中得出的抛物线的解析式,可求得A点的坐标,也就能得出AB的长.△PAB中,AB的长为定值,那么可根据△PAB的面积求出P到AB的距离,即P点纵坐标的绝对值,然后将其代入抛物线的解析式中(分正负两个值)即可求出P点的坐标. (3)本题的关键是找出Q点的位置,已知了B与A点关于抛物线的对称轴对称,因此只需连接BC,直线BC与对称轴的交点即为Q点.可根据B、C两点的坐标先求出直线BC的解析式,然后联立抛物线对称轴的解析式即可求出Q点的坐标. 【解析】 (1)∵抛物线y=x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A(-1,0),B(3,0), ∴ 解得. ∴所求解析式为y=x2-2x-3. (2)设点P的坐标为(x,y), 由题意:S△PAB=×4|y|=8, ∴|y|=4, ∴y=±4. 当y=4时,x2-2x-3=4, ∴x1=2+1,x2=-2+1; 当y=-4时,x2-2x-3=-4,∴x=1, ∴满足条件的点P有3个, 即(2+1,4),(-2+1,4),(1,-4). (3)在抛物线对称轴上存在点Q,使△QAC的周长最小. ∵AC长为定值, ∴要使△QAC的周长最小,只需QA+QC最小, ∵点A关于对称轴直线x=1的对称点是(3,0), ∴Q是直线BC与对称轴直线x=1的交点, 设过点B,C的直线的解析式y=kx-3,把B(3,0)代入, ∴3k-3=0, ∴k=1, ∴直线BC的解析式为y=x-3, 把x=1代入上式, ∴y=-2, ∴Q点坐标为(1,-2).
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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