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如图,在平面直角坐标系中,已知四边形ABCD是等腰梯形,A、B在x轴上,D在y轴...

如图,在平面直角坐标系中,已知四边形ABCD是等腰梯形,A、B在x轴上,D在y轴上,AB∥CD,AD=BC=manfen5.com 满分网,AB=5,CD=3,抛物线y=-x2+bx+c过A、B两点.
(1)求b、c;
(2)设M是x轴上方抛物线上的一动点,它到x轴与y轴的距离之和为d,求d的最大值;
(3)当(2)中M点运动到使d取最大值时,此时记点M为N,设线段AC与y轴交于点E,F为线段EC上一动点,求F到N点与到y轴的距离之和的最小值,并求此时F点的坐标.

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(1)根据等腰梯形的两底的差不难得出A、B两点的坐标,然后将A、B的坐标代入抛物线的解析式中即可求出b,c的值. (2)由于M是抛物线上的点,可根据抛物线的解析式设出点M的坐标,那么它到x,y轴的距离就是横坐标的绝对值与纵坐标的绝对值的和,由此可得出一个新的二次函数,根据这个函数的性质即可求出d的最大值. (3)本题的关键是确定F到N点与到y轴的距离之和的最小时,F点的位置. 过A作y轴的平行线AH,过F作FG⊥y轴交AH于点Q,过F作FK⊥x轴于K,不难得出∠CAB=45°,因此FK=AK=FQ,而OG=IA=1,因此FG=FK-1,那么F到N点与到y轴的距离之和可表示为FK+FN-1,要想使这个值最小,FK+FN就必须最小,因此当这个距离和取最小值时,F,N,K应该在一条直线上,由此F的横坐标和N点的横坐标相同.可先求出直线AC的解析式然后将N点的横坐标代入直线AC的解析式中即可得出F点的坐标. 【解析】 (1)易得A(-1,0)B(4,0), 把x=-1,y=0; x=4,y=0分别代入y=-x2+bx+c, 得, 解得.(3分) (2)设M点坐标为(a,-a2+3a+4), d=|a|-a2+3a+4. ①当-1<a≤0时,d=-a2+2a+4=-(a-1)2+5, 所以,当a=0时,d取最大值,值为4; ②当0<a<4时,d=-a2+4a+4=-(a-2)2+8 所以,当a=2时,d取最大值,最大值为8; 综合①、②得,d的最大值为8. (不讨论a的取值情况得出正确结果的得2分) (3)N点的坐标为(2,6), 过A作y轴的平行线AH,过F作FG⊥y轴交AH于点Q,过F作FK⊥x轴于K, ∵∠CAB=45°,AC平分∠HAB, ∴FQ=FK ∴FN+FG=FN+FK-1, 所以,当N、F、K在一条直线上时,FN+FG=FN+FK-1最小,最小值为5. 易求直线AC的函数关系式为y=x+1,把x=2代入y=x+1得y=3, 所以F点的坐标为(2,3).
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考点分析:
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如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)设(1)题中的抛物线上有一个动点P,当点P在抛物线上滑动到什么位置时,满足S△PAB=8,并求出此时P点的坐标;
(3)设(1)题中的抛物线交y轴于C点,在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△QAC的周长最小?若存在,求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由.

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(1)求AC的长度;
(2)将Rt△ABC以每秒1 cm的速度沿矩形DEFG的边EF向右平移,当点C与点F重合时停止移动,设Rt△ABC与矩形DEFG重叠部分的面积为y,请求出重叠面积y(cm2)与移动时间x(s)的函数关系式(时间不包括起始与终止时刻);
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二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分如图所示.已知它的顶点M在第二象限,且经过点A(1,0)和点B(0,1).
(1)试求a,b所满足的关系式;
(2)设此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C,当△AMC的面积为△ABC面积的manfen5.com 满分网倍时,求a的值;
(3)是否存在实数a,使得△ABC为直角三角形?若存在,请求出a的值;若不存在,请说明理由.

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已知:抛物线y=ax2+4ax+t与x轴的一个交点为A(-1,0)
(1)求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标;
(2)D是抛物线与y轴的交点,C是抛物线上的一点,且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9,求此抛物线的解析式;
(3)E是第二象限内到x轴、y轴的距离的比为5:2的点,如果点E在(2)中的抛物线上,且它与点A在此抛物线对称轴的同侧,问:在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△APE的周长最小?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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