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如图,在平面直角坐标系中,已知OA=12厘米,OB=6厘米.点P从点O开始沿OA...

如图,在平面直角坐标系中,已知OA=12厘米,OB=6厘米.点P从点O开始沿OA边向点A以1厘米/秒的速度移动;点Q从点B开始沿BO边向点O以1厘米/秒的速度移动.如果P、Q同时出发,用t(秒)表示移动的时间(0≤t≤6),那么
(1)设△POQ的面积为y,求y关于t的函数解析式;
(2)当△POQ的面积最大时,将△POQ沿直线PQ翻折后得到△PCQ,试判断点C是否落在直线AB上,并说明理由;
(3)当t为何值时,△POQ与△AOB相似.

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(1)根据P、Q的速度,用时间t表示出OQ和OP的长,即可通过三角形的面积公式得出y,t的函数关系式; (2)先根据(1)的函数式求出y最大时,x的值,即可得出OQ和OP的长,然后求出C点的坐标和直线AB的解析式,将C点坐标代入直线AB的解析式中即可判断出C是否在AB上; (3)本题要分△OPQ∽△OAB和△OPQ∽△OBA两种情况进行求解,可根据各自得出的对应成比例相等求出t的值. 【解析】 (1)∵OA=12,OB=6,由题意,得BQ=1×t=t,OP=1×t=t. ∴OQ=6-t. ∴y=×OP×OQ=×t(6-t)=-t2+3t(0≤t≤6); (2)∵y=-t2+3t, ∴当y有最大值时,t=3 ∴OQ=3,OP=3,即△POQ是等腰直角三角形. 把△POQ沿直线PQ翻折后,可得四边形OPCQ是正方形. ∴点C的坐标为(3,3). ∵A(12,0),B(0,6), ∴直线AB的解析式为y=-x+6 当x=3时,y=≠3, ∴点C不落在直线AB上; (3) ①若△POQ∽△AOB时,,即,12-2t=t,∴t=4. ②若△POQ∽△BOA时,,即,6-t=2t,∴t=2. ∵0≤t≤6, ∴t=4和t=2均符合题意, ∴当t=4或t=2时,△POQ与△AOB相似.
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考点分析:
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(3)设点P是x轴上的任意一点,分别连接AC、BC.试判断:PA+PB与AC+BC的大小关系,并说明理由.

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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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