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如图,直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B、C,抛物线y=-x2+bx+c经...

如图,直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B、C,抛物线y=-x2+bx+c经过点B、C,点A是抛物线与x轴的另一个交点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求△ABC的面积;
(3)若P是抛物线上一点,且S△ABP=manfen5.com 满分网S△ABC,这样的点P有______个.

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(1)根据直线BC的解析式,可求得B、C的坐标,将它们代入抛物线的解析式中,即可求得待定系数的值,从而确定抛物线的解析式; (2)令抛物线的解析式中y=0,即可求出A点的坐标,以AB为底,OC为高即可得到△ABC的面积; (3)△ABP和△ABC同底,那么面积比等于高的比,所以P点到AB的距离是OC长的一半,由此可求出P点纵坐标的绝对值,在x轴上、下方的抛物线上各有两个符合条件的P点,所以共有4个. 【解析】 (1)∵直线y=-x+3经过B、C两点,∴B(3,0),C(0,3); 已知抛物线经过B、C两点,则有: , 解得; ∴抛物线的解析式为:y=-x2+2x+3; (2)令(1)所得的抛物线中y=0,得-x2+2x+3=0, 解得x=-1,x=3; ∴A(-1,0), 又∵B(3,0),C(0,3), ∴AB=4,OC=3; S△ABC=AB•OC=×4×3=6; (3)∵S△ABC=AB•OC,S△ABP=AB•|yP|,且S△ABP=S△ABC, ∴|yP|=OC=1.5, 即P点的纵坐标为±1.5; 由函数的图象知,符合条件的P点共有4个.
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考点分析:
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(1)求该抛物线的函数表达式;
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(2)设P点运动时间为t(秒).
①当t=5时,求出点P的坐标;
②若△OAP的面积为s,试求出s与t之间的函数关系式(并写出相应的自变量t的取值范围).

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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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