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如图,在平面直角坐标系中,两个一次函数y=x,y=-2x+12的图象相交于点A,...

如图,在平面直角坐标系中,两个一次函数y=x,y=-2x+12的图象相交于点A,动点E从O点出发,沿OA方向以每秒1个单位的速度运动,作EF∥y轴与直线BC交于点F,以EF为一边向x轴负方向作正方形EFMN,设正方形EFMN与△AOC的重叠部分的面积为S.
(1)求点A的坐标;
(2)求过A、B、O三点的抛物线的顶点P的坐标;
(3)当点E在线段OA上运动时,求出S与运动时间t(秒)的函数表达式;
(4)在(3)的条件下,t为何值时,S有最大值,最大值是多少?此时(2)中的抛物线的顶点P是否在直线EF上,请说明理由.

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(1)可联立直线OA和AC的函数解析式组成方程组,即可求出A点的坐标. (2)先根据直线BC的解析式求出B点的坐标,然后根据已知的A点和原点坐标,用待定系数法即可求出过A、B、O三点的抛物线的解析式.进而可求出其顶点P的坐标. (3)如果设FM与y轴交于R,EN与y轴交于Q,不难得出三角形OEQ为等腰直角三角形,那么本题可分二种情况进行讨论: ①当EF>QE时,那么重合部分的面积是个矩形的面积,以EF和QE为长和宽. ②当EF≤QE时,那么重复部分就是正方形EFMN的面积. 根据这两种情况可得出不同t的取值范围内的S,t的函数关系式. (4)可根据(3)的函数得出S的最大值及对应的t的值.然后根据t确定出E,F点的坐标,进而可求出直线EF的解析式,由此可判断出抛物线的顶点是否在直线EF上. 【解析】 (1)依题意得. 解得. ∴点A的坐标为(4,4). (2)直线y=-2x+12与x轴交点B的坐标为(6,0). 设过A、B、O的抛物线的表达式为y=ax2+bx, 依题意得. 解得. ∴所求抛物线的表达式为y=-x2+3x. y=-x2+3x=-(x-3)2+, ∴点P坐标(3,). (3)设直线MF、NE与y轴交于点R、Q,则△OQE是等腰直角三角形. ∵OE=1×t=t, ∴EQ=OQ=, ∴E(,). ∵EF∥y轴, ∴RF=,RO=-2×t+12=12-. ∴EF=RQ=12--=12-t. ①当EF>QE时,即12-t>t, 解得t<3. ∴当0≤t<3时,S=EF•QE=t(12-t)=-t2+6t. ②当EF≤QE时,即12-t≤, 解得t≥3. ∴当3≤t<4时,S=EF2=(12-t)2. (4)当0≤t<3时,S=-t2+6t=-(t-2)2+12. ∴当t=2时,S最大=12. 当3≤t<4时,S最大=()2=9. ∴当t=2时,S最大=12. 当t=2时,E(2,2),F(2,8), ∵P(3,), ∴点P不在直线EF上.
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考点分析:
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如图,△ABO中,O是坐标原点,Amanfen5.com 满分网,Bmanfen5.com 满分网
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(1)求该抛物线的函数表达式;
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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