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如图1,在平面直角坐标系中,AB、CD都垂直于x轴,垂足分别为B、D,AD与BC...

如图1,在平面直角坐标系中,AB、CD都垂直于x轴,垂足分别为B、D,AD与BC相交于E点,已知:A(-2,-6),C(1,-3),一抛物线经过A,E,C三点.
(1)求点E的坐标及此抛物线的表达式;
(2)如图2,如果AB位置不变,将DC向右平移k(k>0)个单位,求△AEC的面积S关于k的函数表达式;
(3)在第(2)问中,是否存在k的值,使AD⊥BC?如果存在,求出k的值;如果不存在,请说明理由.
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(1)设直线AD的解析式为y=kx+b,直线BC的解析式为y=-x-2,把已知坐标代入求得解析式.得出点E的坐标.设经过A,E,C三点的此抛物线表达式为y=ax2+bx+c求出解析式. (2)证明△ABE∽△DCE,作EF⊥AB于F,EG⊥CD于G,求出EF,EG的值然后可求出S的值. (3)由2得ABE∽△DCE利用线段比得出AF,BF的值.当AD⊥BC,EF⊥AB时得出△BEF∽△AFE,然后根据线段比求出EF的值. 【解析】 (1)由题意知B(-2,0)、D(1,0), 设直线AD的解析式为y=kx+b, 将A(-2,-6)、D(1,0)的坐标代入, 解得k=2,b=-2, ∴直线BC的解析式为y=-x-2; 同理求得直线AD的解析式为y=2x-2, 解方程组. 得点E的坐标为(0,-2), (用其它方法求得点E的坐标可参考得分) 设经过A,E,C三点的此抛物线表达式为y=ax2+bx+c, 则, ∴, ∴y=-x2-2. (2)由题意得D(k+1,0),C(k+1,-3),BD=k+3, ∵AB、CD都垂直于x轴, ∴△ABE∽△DCE, 且, 作EF⊥AB于F,EG⊥CD于G,则 EF=, EG=, ∴SABE+SCDE=(k+3) ∴=k+3. (3)由(2)知EF=, ∵△ABE∽△DCE, ∴, ∵EF∥x轴, ∴, ∴AF=4,BF=2, 当AD⊥BC时,由EF⊥AB得△BEF∽△AFE, ∴EF2=BF•AF=8, ∴EF=(负根舍去) ∴=,.
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考点分析:
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已知抛物线y=-x2+ax+b经过点A(1,0),B(0,-4).
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已知抛物线L:y=ax2+bx+c(其中a、b、c都不等于0),它的顶点P的坐标是manfen5.com 满分网,与y轴的交点是M(0,c).我们称以M为顶点,对称轴是y轴且过点P的抛物线为抛物线L的伴随抛物线,直线PM为L的伴随直线.
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伴随抛物线的解析式 ______,伴随直线的解析式 ______
(2)若一条抛物线的伴随抛物线和伴随直线分别是y=-x2-3和y=-x-3,则这条抛物线的解析式是 ______
(3)求抛物线L:y=ax2+bx+c(其中a、b、c都不等于0)的伴随抛物线和伴随直线的解析式;
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已知点M,N的坐标分别为(0,1),(0,-1),点P是抛物线y=manfen5.com 满分网x2上的一个动点.
(1)求证:以点P为圆心,PM为半径的圆与直线y=-1的相切;
(2)设直线PM与抛物线y=manfen5.com 满分网x2的另一个交点为点Q,连接NP,NQ,求证:∠PNM=∠QNM.
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如图,在平面直角坐标系中,两个一次函数y=x,y=-2x+12的图象相交于点A,动点E从O点出发,沿OA方向以每秒1个单位的速度运动,作EF∥y轴与直线BC交于点F,以EF为一边向x轴负方向作正方形EFMN,设正方形EFMN与△AOC的重叠部分的面积为S.
(1)求点A的坐标;
(2)求过A、B、O三点的抛物线的顶点P的坐标;
(3)当点E在线段OA上运动时,求出S与运动时间t(秒)的函数表达式;
(4)在(3)的条件下,t为何值时,S有最大值,最大值是多少?此时(2)中的抛物线的顶点P是否在直线EF上,请说明理由.

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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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