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已知抛物线C1:y=-x2+2mx+n(m,n为常数,且m≠0,n>0)的顶点为...

已知抛物线C1:y=-x2+2mx+n(m,n为常数,且m≠0,n>0)的顶点为A,与y轴交于点C;抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称,其顶点为B,连接AC,BC,AB.
(1)请在横线上直接写出抛物线C2的解析式:______
(2)当m=1时,判定△ABC的形状,并说明理由;
(3)抛物线C1上是否存在点P,使得四边形ABCP为菱形?如果存在,请求出m的值;如果不存在,请说明理由.

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(1)两抛物线关于y轴对称,它们的开口方向和大小都相同(即二次项系数a相同),与y轴的交点也相同(即常数项c相同),不同的只是对称轴方程,可据此求解; (2)由于两个抛物线关于y轴对称,根据轴对称的性质可判断出△ACB是等腰三角形;当m=1时,可过A作C1的对称轴AD,过C作AD的垂线,设垂足为E,利用A、C的坐标,求得AE、CE的长,从而证得∠ACE=45°,进而求出∠ACy=∠BCy=45°,即△ACB是等腰直角三角形; (3)若四边形ABCP是菱形,且P在C1上,那么C、P必关于AD对称,即CP经过E点;若四边形ABCP是菱形,则有:AB=BC,此时△ABC是等边三角形,那么∠ACy=∠BCy=30°,故∠ACE=60°;可仿照(2)的解题方法,表示出A、C的坐标,进而得到AE、CE的长,以∠ACE的正切值作为等量关系即可求得m的值. 【解析】 (1)y=-x2-2mx+n; (2)当m=1时,△ABC为等腰直角三角形, 理由如下:如图: ∵点A与点B关于y轴对称,点C又在y轴上, ∴AC=BC,过点A作抛物线C1的对称轴交x轴于D,过点C作CE⊥AD于E. ∴当m=1时,顶点A的坐标为A(1,1+n), ∴CE=1; 又∵点C的坐标为(0,n), ∴AE=1+n-n=1, ∴AE=CE; 从而∠ECA=45°, ∴∠ACy=45°, 由对称性知∠BCy=∠ACy=45°, ∴△ABC为等腰直角三角形; (3)假设抛物线C1上存在点P,使得四边形ABCP为菱形,则PC=AB=BC. 由(2)知,AC=BC, ∴AB=BC=AC, 从而△ABC为等边三角形. ∴∠ACy=∠BCy=30°. ∵四边形ABCP为菱形,且点P在C1上, ∴点P与点C关于AD对称, ∴PC与AD的交点也为点E, 因此∠ACE=90°-30°=60°. ∵点A,C的坐标分别为A(m,m2+n),C(0,n), ∴AE=m2+n-n=m2,CE=|m|. 在Rt△ACE中,. ∴,∴. 故抛物线C1上存在点P,使得四边形ABCP为菱形,此时.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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