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如图,已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AB=12cm,BC=8...

如图,已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AB=12cm,BC=8cm,DC=13cm,动点P沿A→D→C线路以2cm/秒的速度向C运动,动点Q沿B→C线路以1cm/秒的速度向C运动.P、Q两点分别从A、B同时出发,当其中一点到达C点时,另一点也随之停止.设运动时间为t秒,△PQB的面积为ycm2
(1)求AD的长及t的取值范围;
(2)当1.5≤t≤t(t为(1)中t的最大值)时,求y关于t的函数关系式;
(3)请具体描述:在动点P、Q的运动过程中,△PQB的面积随着t的变化而变化的规律.

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(1)过D作DE⊥BC于E点,如图所示,把梯形的问题转化为矩形和直角三角形的问题,结合题目的已知条件,利用勾股定理即可求出CE,然后也可以求出AD的长度,接着就可以求出点P从出发到点C和点Q从出发到点C所需时间,也就求出了t的取值范围; (2)首先通过计算确定P的位置在点P在DC边上,过点P作PM⊥BC于M,如图所示,由此得到PM∥DE,然后利用平行线分线段成比例可以用t表示PM,再利用三角形的面积公式即可求出函数关系式; (3)利用函数关系式结合t的取值范围可以得到动点P、Q的运动过程中,△PQB的面积随着t的变化而变化的规律. 【解析】 (1)在梯形ABCD中,AD∥BC、∠B=90°过D作DE⊥BC于E点,如图所示 ∴AB∥DE ∴四边形ABED为矩形, ∴DE=AB=12cm 在Rt△DEC中,DE=12cm,DC=13cm ∴EC=5cm ∴AD=BE=BC-EC=3cm(2分) 点P从出发到点C共需=8(秒), 点Q从出发到点C共需=8秒(3分), 又∵t≥0, ∴0≤t≤8(4分); (2)当t=1.5(秒)时,AP=3,即P运动到D点(5分) ∴当1.5≤t≤8时,点P在DC边上 ∴PC=16-2t 过点P作PM⊥BC于M,如图所示 ∴PM∥DE ∴=即= ∴PM=(16-2t)(7分) 又∵BQ=t ∴y=BQ•PM =t•(16-2t) =-t2+t(3分), (3)∵由(2)知y=-t2+t=-(t-4)2+, 即顶点坐标是(4,),抛物线的开口向下, 即抛物线被对称轴分成两部分: 在对称轴的左侧(t<4),△PQB的面积随着t的增大而(继续)增大; 在对称轴的右侧(t>4)时,△PQB的面积随着t的增大而减小; 即当0≤t≤1.5时,△PQB的面积随着t的增大而增大; 当1.5<t≤4时,△PQB的面积随着t的增大而(继续)增大; 当4<t≤8时,△PQB的面积随着t的增大而减小.(12分) 注:①上述不等式中,“1.5<t≤4”、“4<t≤8”写成“1.5≤t≤4”、“4≤t≤8”也得分. ②若学生答:当点P在AD上运动时,△PQB的面积先随着t的增大而增大,当点P在DC上运动时,△PQB的面积先随着t的增大而(继续)增大,之后又随着t的增大而减小.给(2分) ③若学生答:△PQB的面积先随着t的增大而减小给(1分).
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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