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数学课上,李老师出示了这样一道题目:如图1,正方形ABCD的边长为12,P为边B...

数学课上,李老师出示了这样一道题目:如图1,正方形ABCD的边长为12,P为边BC延长线上的一点,E为DP的中点,DP的垂直平分线交边DC于M,交边AB的延长线于N.当CP=6时,EM与EN的比值是多少?
经过思考,小明展示了一种正确的解题思路:过E作直线平行于BC交DC,AB分别于F,G,如图2,则可得:manfen5.com 满分网,因为DE=EP,所以DF=FC.可求出EF和EG的值,进而可求得EM与EN的比值.
(1)请按照小明的思路写出求解过程.
(2)小东又对此题作了进一步探究,得出了DP=MN的结论,你认为小东的这个结论正确吗?如果正确,请给予证明;如果不正确,请说明理由.
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(1)过E作EG∥BC交DC、AB分别于F、G,如图2,结合平行线分线段成比例定理则可得:,因为DE=EP,可知所以DF=FC,可求出EF和EG的值,再利用AB∥CD,可得EM:EN=EF:EG,进而可求得EM与EN的比值; (2)作MH∥BC交AB于点H,先利用AB∥CD,可得∠MNH=∠CMN,结合对顶角的性质,易得∠MNH=∠CMN=∠DME=90°-∠CDP,而∠DPC=90°-∠CDP,那么∠DPC=∠MNH,再加上一对直角,和一组对应边(HM=CD),可证两三角形△DPH和△MNH全等,从而有DP=MN. (1)【解析】 过E作直线GE平行于BC交DC,AB分别于点F,G,(如图2) 则,,GF=BC=12, ∵DE=EP, ∴DF=FC,(2分) ∴,EG=GF+EF=12+3=15, ∴;(4分) (2)证明:正确, 作MH∥BC交AB于点H,(5分)(如图1) 则MH=CB=CD,∠MHN=90°, ∵∠DCP=180°-90°=90°, ∴∠DCP=∠MHN, ∵NE是DP的垂直平分线, ∵∠MNH=∠CMN=∠DME=90°-∠CDP,∠DPC=90°-∠CDP, ∴∠DPC=∠MNH, ∴△DPC≌△MNH,(7分) ∴DP=MN.(8分)
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考点分析:
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如图1,已知四边形ABCD是菱形,G是线段CD上的任意一点时,连接BG交AC于F,过F作FH∥CD交BC于H,可以证明结论manfen5.com 满分网成立.(考生不必证明)
(1)探究:如图2,上述条件中,若G在CD的延长线上,其它条件不变时,其结论是否成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由;
(2)计算:若菱形ABCD中AB=6,∠ADC=60°,G在直线CD上,且CG=16,连接BG交AC所在的直线于F,过F作FH∥CD交BC所在的直线于H,求BG与FG的长.
(3)发现:通过上述过程,你发现G在直线CD上时,结论manfen5.com 满分网还成立吗?

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(1)求AD的长及t的取值范围;
(2)当1.5≤t≤t(t为(1)中t的最大值)时,求y关于t的函数关系式;
(3)请具体描述:在动点P、Q的运动过程中,△PQB的面积随着t的变化而变化的规律.

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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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