Question

如图，在Rt△ABC中，AB=AC，P是边AB（含端点）上的动点．过P作BC的垂线PR，R为垂足，∠PRB的平分线与AB相交于点S，在线段RS上存在一点T，若以线段PT为一边作正方形PTEF，其顶点E，F恰好分别在边BC，AC上．
（1）△ABC与△SBR是否相似，说明理由；
（2）请你探索线段TS与PA的长度之间的关系；
（3）设边AB=1，当P在边AB（含端点）上运动时，请你探索正方形PTEF的面积y的最小值和最大值．

Answer

（1）三角形SBR和ABC中，有一个公共角B，都有一组直角，如果再有一组角相等即可证明两三角形相似，SR平分∠BRP，那么∠BRS=45°=∠C，因此两三角形的相似条件凑齐，两三角形相似；
（2）应该是相等关系，△STP和△APE中，PT=PF，又有一组直角，那么只要再有一组角相等即可得出全等，∠TPS+∠APF=180-90=90°，那么不难证得∠STP=∠APF，因此两三角形全等，那么TS=PA；
（3）要求正方形FPTE的面积，那么就要求出它的边长．RS是等腰直角△PRS的高，那么BS=PS，PS=，由（2）证得的全等三角形中我们可得出PS=AF，如果设PA=x，我们就能用x表示出AF的值，直角三角形APF中，我们就能用x表示出PF2，也就得出了y与x的函数关系式，然后确定x的取值范围，x最小时x=PA=0此时P与A重合，S与T重合，E与R重合．x最大时，T与R重合，此时TS=BS=SP=PA，因此PA=，那么x的范围就是0≤x≤，然后根据函数的性质和自变量的范围求出y的最大和最小值．
【解析】
（1）∵RS是直角∠PRB的平分线，
∴∠PRS=∠BRS=45°．
在△ABC与△SBR中，∠C=∠BRS=45°，
∠B是公共角，
∴△ABC∽△SBR．

（2）线段TS的长度与PA相等．
∵四边形PTEF是正方形，
∴PF=PT，∠SPT+∠FPA=180°-∠TPF=90°，
在Rt△PFA中，∠PFA+∠FPA=90°，
∴∠PFA=∠TPS，
∴Rt△PAF≌Rt△TSP，∴PA=TS．
当点P运动到使得T与R重合时，这时△PFA与△TSP都是等腰直角三角形且底边相等，即有PA=TS．
由以上可知，线段ST的长度与PA相等．

（3）由题意，RS是等腰Rt△PRB的底边PB上的高，
∴PS=BS，∴BS+PS+PA=1，∴PS=．
设PA的长为x，易知AF=PS，
则y=PF2=PA2+PS2，得y=x2+（）2，
即y=，
根据二次函数的性质，当x=时，y有最小值为．
如图2，当点P运动使得T与R重合时，PA=TS为最大．
易证等腰Rt△PAF≌等腰Rt△PSR≌等腰Rt△BSR，
∴PA=．
如图3，当P与A重合时，得x=0．
∴x的取值范围是0≤x≤．
∴①当x的值由0增大到时，y的值由减小到
∴②当x的值由增大到时，y的值由增大到．
∵≤≤，
∴在点P的运动过程中，正方形PTEF面积y的最小值是，y的最大值是．