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如图,已知OA⊥OB,OA=4,OB=3,以AB为边作矩形ABCD,使AD=a,...

如图,已知OA⊥OB,OA=4,OB=3,以AB为边作矩形ABCD,使AD=a,过点D作DE垂直OA的延长线交于点E.
(1)证明:△OAB∽△EDA;
(2)当a为何值时,△OAB与△EDA全等?请说明理由,并求出此时点C到OE的距离.

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(1)由于四边形ABCD是矩形,则∠BAD=90°,那么∠OBA、∠DAE同为∠BAO的余角,即∠OBA=∠DAE,而∠BOA、∠DEA都是直角,由此可证得△OAB∽△EDA. (2)若△OAB与△EDA全等,则AB=AD,在Rt△OAB中,利用勾股定理易求得AB=5,那么a=AD=AB=5; 求C到OE的距离,可过C作CH⊥OE于H,过B作BF⊥CH于F;那么CH就是所求的距离,通过上面的解题思路,易证得△CBF≌△ABO,得CH=OA=4,BO=BF,那么四边形BOHF是正方形,由此可得FH=BO=3,根据CH=CF+FH即可求得C到OE的距离. (1)证明:如图所示, ∵OA⊥OB, ∴∠1+∠2=90°, 又∵四边形ABCD是矩形, ∴∠BAD=90°, ∴∠2+∠3=90°, ∴∠1=∠3,(1分) ∵OA⊥OB,OE⊥OA, ∴∠BOA=∠DEA=90°,(2分) ∴△OAB∽△EDA.(3分) (2)【解析】 在Rt△OAB中,AB==5,(4分) 由(1)可知∠1=∠3,∠BOA=∠DEA=90°, ∴当a=AD=AB=5时,△AOB与△EDA全等.(5分) 当a=AD=AB=5时,可知矩形ABCD为正方形, ∴BC=AB,如图,过点C作CH⊥OE交OE于点H, 则CH就是点C到OE的距离,过点B作BF⊥CH交CH于点F, 则∠4与∠5互余,∠1与∠5互余, ∴∠1=∠4,(6分) 又∵∠BFC=∠BOA,BC=AB, ∴△OAB≌△FCB(AAS),(7分) ∴CF=OA=4,BO=BF. ∴四边形OHFB为正方形, ∴HF=OB=3, ∴点C到OE的距离CH=CF+HF=4+3=7.(8分)
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考点分析:
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学习《图形的相似》后,我们可以借助探索两个直角三角形全等的条件所获得经验,继续探索两个直角三角形相似的条件.
(1)“对与两个直角三角形,满足一边一锐角对应相等,或两直角边对应相等,两个直角三角形全等”.类似地你可以得到:“满足______,或______,两个直角三角形相似”.
(2)“满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”,类似地你可以得到“满足______的两个直角三角形相似”.
请结合下列所给图形,写出已知,并完成说理过程.
已知:如图,______
试说明Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.

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已知:正方形ABCD中,E、F分别是边CD、DA上的点,且CE=DF,AE与BF交于点M.
(1)求证:△ABF≌△DAE;
(2)找出图中与△ABM相似的所有三角形(不添加任何辅助线).

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如图①,将一张矩形纸片对折,然后沿虚线剪切,得到两个(不等边)三角形纸片△ABC,△A1B1C1
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﹙1﹚将△ABC,△A1B1C1如图②摆放,使点A1与B重合,点B1在AC边的延长线上,连接CC1交BB1于点E.求证:∠B1C1C=∠B1BC.
﹙2﹚若将△ABC,△A1B1C1如图③摆放,使点B1与B重合,点A1在AC边的延长线上,连接CC1交A1B于点F,试判断∠A1C1C与∠A1BC是否相等,并说明理由.
﹙3﹚写出问题﹙2﹚中与△A1FC相似的三角形.
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如图①,将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠(点E、F分别在边AB、CD上),使点B落在AD边上的点M处,点C落在点N处,MN与CD交于点P,连接EP.
(1)如图②,若M为AD边的中点,
①△AEM的周长=______cm;
②求证:EP=AE+DP;
(2)随着落点M在AD边上取遍所有的位置(点M不与A、D重合),△PDM的周长是否发生变化?请说明理由.
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A.某中学师生在劳动基地活动时,看到木工师傅在材料边角处画直角时,用了一种“三弧法”.方法是:
①画线段AB,分别以A,B为圆心,AB长为半径画弧相交于C;
②以C为圆心,仍以AB长为半径画弧交AC的延长线于D;
③连接DB.则∠ABD就是直角.
(1)请你就∠ABD是直角作出合理解释;
(2)现有一长方形木块的残留部分如图,其中AB,CD整齐且平行,BC,AD是参差不齐的毛边.请你在毛边附近用尺规画一条与AB,CD都垂直的边(不写作法,保留作图痕迹);
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B.如图,在△ABC中,D为AC上一点,CD=2DA,∠BAC=45°,∠BDC=60°,CE⊥BD,E为垂足,连接AE.
(1)写出图中所有相等的线段,并选择其中一对给予证明;
(2)图中有无相似三角形?若有,请写出一对;若没有,请说明理由.
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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