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如图,在△ABC和△DEF中,∠A=∠D=90°,AB=DE=3,AC=2DF=...

如图,在△ABC和△DEF中,∠A=∠D=90°,AB=DE=3,AC=2DF=4.
(1)判断这两个三角形是否相似并说明为什么?
(2)能否分别过A,D在这两个三角形中各作一条辅助线,使△ABC分割成的两个三角形与△DEF分割成的两个三角形分别对应相似?证明你的结论.
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根据已知及相似三角形的判定方法进行分析即可. 【解析】 (1)不相似.(1分) ∵在Rt△BAC中,∠A=90°,AB=3,AC=4; 在Rt△EDF中,∠D=90°,DE=3,DF=2, ∵=,=, ∴≠, ∴Rt△BAC与Rt△DFE不相似.(4分) (2)能作如图所示的辅助线进行分割. 证明:作∠BAM=∠E,交BC于M;作∠NDE=∠B,交EF于N.(7分) 由作法和已知条件可知△BAM∽△DEN.(8分) ∵∠BAM=∠E,∠NDE=∠B,∠AMC=∠BAM+∠B,∠FND=∠E+∠NDE, ∴∠AMC=∠FND.(9分) ∵∠FDN=90°-∠NDE,∠C=90°-∠B, ∴∠FDN=∠C. ∴△AMC∽△FND.(10分)
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考点分析:
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在数学课堂上,老师讲解“相似三角形”之后,接着出了一道题目让同学练习,题目是:“如图,四边形ABCD是平行四边形,E是BA延长线上一点,CE与AD相交于F.请写出与△EBC相似的三角形,并加以证明.”
聪聪看后,迅速写出了下面解答:
“与△EBC相似的只有△EAF.证明如下:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC.∴△EBC∽△EAF.”
你对聪聪的解答有何意见?为什么?

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(1)求证:△PFA∽△ABE;
(2)当点P在射线AD上运动时,设PA=x,是否存在实数x,使以P,F,E为顶点的三角形也与△ABE相似?若存在,请求出x的值;若不存在,说明理由.

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(2)除AB=CD,AD=BC,OA=OC这三对相等的线段外,图中还有多对相等的线段,请选出其中一对加以证明.

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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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