已知一个二次函数的图象经过A（-1，0）、B（0，3）、C（4，-5）三点．（...

已知一个二次函数的图象经过A（-1，0）、B（0，3）、C（4，-5）三点．
（1）求这个二次函数的解析式及其图象的顶点D的坐标；
（2）这个函数的图象与x轴有两个交点，除点A外的另一个交点设为E，点O为坐标原点．在△AOB、△BOE、△ABE和△BDE着四个三角形中，是否有相似三角形？如果有，指出哪几对三角形相似，并加以证明；如果没有，要说明理由．

（1）使用代入法可求解二次函数的解析式．（2）在坐标轴上每一点的坐标都是已知，则可根据两点间的距离公式求得每一线段的长，若在两三角形中，三边对应成比例，而这两三角形相似，可推得△AOB∽△DBE．【解析】（1）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0）．根据题意，得，解得a=-1，b=2，c=3． ∴二次函数的解析式为y=-x2+2x+3．由y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，得顶点D的坐标为（1，4）答：顶点D的坐标为（1，4）；（2）在直角坐标平面内画出图形． △AOB∽△DBE， ∵OA=1，OB=3，AB=，BD=，BE=3，DE=．得===． ∴△AOB∽△DBE．

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考点分析：

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如图所示，已知A，B两点的坐标分别为（28，0）和（0，28）．动点P从A点开始在线段AO上以每秒3个单位的速度向原点O运动，动直线EF从x轴开始每秒1个单位的速度向上平行移动（即EF∥x轴），并且分别与y轴，线段AB交于E，F点，连接FP，设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为t秒．
（1）当t=1秒时，求梯形OPFE的面积，当t为何值时，梯形OPFE的面积最大，最大面积是多少？
（2）当梯形OPFE的面积等于三角形APF的面积时，求线段PF的长；
（3）设t的值分别取t₁，t₂时（t₁≠t₂），所对应的三角形分别为△AF₁P₁和△AF₂P₂．试判断这两个三角形是否相似，请证明你的判断．