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在△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,M是BC的中点,P为线段AB上的...

在△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,M是BC的中点,P为线段AB上的一个动点(可以与A、B重合),并作∠MPD=90°,PD交BC(CB延长线或BC的延长线)于点D.
(1)记BP的长为x,△BMP的面积为y,求y关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(2)是否存在这样的点P,使得△MPD与△ABC相似?若存在,请求出x的值;若不存在,请说明理由.

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(1)△BMP中,BM的长易求得,关键是求BM边上的高;过P作PH⊥BC于H,易证得△BPH∽△BAC,通过相似三角形得出的成比例线段可求出PH的长,进而可求出y、x的函数关系式; (2)所求的两个三角形中,已知∠MPD=∠ACB=90°,若使两三角形相似要分两种情况进行讨论; 一、D在BC上, ①∠PMB=∠B,此时PM=BM,MH=BH=2,可根据相似三角形得出的成比例线段求出x的值;②∠PMB=∠A,此时△BPM∽△BCA,同①可求得x的值; 二、D在BC延长线上时; 由于∠PMD>∠B,因此只有一种情况:∠PMD=∠BAC;当P、A重合时,易证得∠MAC=∠PDM,由于tan∠MAC=<tan∠B,所有∠MAC<∠B,即当D在BC延长线上时,∠PDM总小于∠B,所有△PDM和△ABC不会相似; 综合两种情况,可得出符合条件的x的值. 【解析】 (1)过P作PH⊥BC于H,则PH∥AC; Rt△ABC中,AC=6,BC=8;则AB=10. ∵P为AB上动点可与A、B重合(与A重合BP为0,与B重合BP为10)  但是x不能等于5. ∵当x=5时,P为AB中点,PM∥AC,得到PD∥BC,PD与BC无交点,与题目已知矛盾,所以x的取值范围是,0≤x≤10 且x≠5, 易知△BPH∽△BAC,得: ,PH==x; ∴y=×4×x=x(0≤x≤10 且x≠5); (2)当D在BC上时, ①∠PMB=∠B时,BP=PM,MH=BH=2; MP=x,AB=10,MH=2,BC=8, 此时△MPD∽△BCA, ∴△MPD∽△MHP, ∴△MHP∽△BCA, , 得:,解得; ②∠PMB=∠A时,△DPM∽△BCA,得:=,即DP•BA=DM•BC; ∴10x=4×8,解得x=; 当D在BC延长线上时, 由于∠PMD>∠B,所以只讨论∠PDM=∠B的情况; 当P、A重合时,Rt△MPD中,AC⊥MD,则∠MAC=∠PDM, ∵tan∠MAC=,tanB=,tan∠MAC<tanB, ∴∠MAC<∠B,即∠PDM<∠B; 由于当P、A重合时,∠PDM最大,故当D在BC延长线上时,∠B>∠PDM; 所以△PDM和△ACB不可能相似; 综上所述,存在符合条件的P点,且x=2.5或3.2.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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