Question

某数学兴趣小组，利用树影测量树高，如图（1），已测出树AB的影长AC为12米，并测出此太阳光线与地面成30°夹角．（1.4，1.7）
（1）求出树高AB；
（2）因水土流失，此时树AB沿太阳光线方向倒下，在倾倒过程中，树影长度发生了变化，假设太阳光线于地面夹角保持不变（用图（2）解答）
①求树与地面成45°角时的影长；
②求树的最大影长．

Answer

（1）在直角△ABC中，已知∠ACB=30°，AC=12米．利用三角函数即可求得AB的长；
（2）①在△AB1C1中，已知AB1的长，即AB的长，∠B1AC1=45°，∠B1C1A=30°．过B1作AC1的垂线，在直角△AB1N中根据三角函数求得AN，BN；再在直角△B1NC1中，根据三角函数求得NC1的长．即可求解；
②当树与地面成60°角时影长最大，根据三角函数即可求解．
【解析】
（1）AB=ACtan30°=12×=4≈7（米）．
答：树高约为7米．

（2）作B1N⊥AC1于N．
①如图（2），B1N=AN=AB1sin45°=（米）．
NC1=NB1tan60°=（米）．
AC1=AN+NC1=5+8=13（米）．
答：树与地面成45°角时的影长约为13米．

②如图（2），当树与地面成60°角时影长最大AC2（或树与光线垂直时影长最大或光线与半径为AB的⊙A相切时影长最大）
AC2=2AB2≈14．
答：树的最大影长约为14米．