Question

已知一元二次方程x²+px+q+1=0的一根为2．
（1）求q关于p的关系式；
（2）求证：抛物线y=x²+px+q与x轴有两个交点；
（3）设抛物线y=x²+px+q的顶点为M，且与x轴相交于A（x₁，0）、B（x₂，0）两点，求使△AMB面积最小时的抛物线的解析式．

Answer

（1）把x=2代入可求得q与p的关系式；
（2）由△=b2-4ac可判断抛物线与x轴的交点情况；
（3）先写出该抛物线的顶点坐标，方程根与系数关系可求线段AB的长，进而求得△AMB的面积表达，从而求得最小值．
（1）【解析】
把x=2代入得22+2p+q+1=0，即q=-（2p+5）；

（2）证明：∵一元二次方程x2+px+q=0的判别式△=p2-4q＞0，
由（1）得△=p2+4（2p+5）=p2+8p+20=（p+4）2+4＞0，（3分）
∴一元二次方程x2+px+q=0有两个不相等的实根．（4分）
∴抛物线y=x2+px+q与x轴有两个交点；（5分）

（3）【解析】
抛物线顶点的坐标为，（6分）
∵x1，x2是方程x2+px+q=0的两个根，
∴，
∴．（7分）
∴，（8分）
要使S△AMB最小，只须使p2-4q最小．
由（2）得△=p2-4q=（p+4）2+4，
所以当p=-4时，有最小值4，此时S△AMB=1，q=3．（9分）
故抛物线的解析式为y=x2-4x+3．（10分）