Question

已知二次函数y=x²+ax+a-2．
（1）求证：不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点；
（2）设a＜0，当此函数图象与x轴的两个交点的距离为时，求出此二次函数的解析式；
（3）若此二次函数图象与x轴交于A、B两点，在函数图象上是否存在点P，使得△PAB的面积为？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由判别式△=b2-4ac可证明a为任一实数．
（2）先求出两根之和及两根之积的值，再利用两点距离公式求解．
（3）利用第2小题中两个交点的距离为来进行计算．
【解析】
（1）因为△=a2-4（a-2）=（a-2）2+4＞0，
所以不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点．

（2）设x1、x2是y=x2+ax+a-2=0的两个根，则x1+x2=-a，x1•x2=a-2，因两交点的距离是，
所以．
即：（x1-x2）2=13
变形为：（x1+x2）2-4x1•x2=13
即（-a）2-4（a-2）=13
整理得：（a-5）（a+1）=0
解方程得：a=5或-1
又∵a＜0
∴a=-1
∴此二次函数的解析式为y=x2-x-3．

（3）设点P的坐标为（x，y），
∵函数图象与x轴的两个交点间的距离等于，
∴AB=
∴S△PAB=AB•|y|=
∴=
即：|y|=3，则y=±3
当y=3时，x2-x-3=3，即（x-3）（x+2）=0
解此方程得：x=-2或3
当y=-3时，x2-x-3=-3，即x（x-1）=0
解此方程得：x=0或1（11分）
综上所述，所以存在这样的P点，P点坐标是（-2，3），（3，3），（0，-3）或（1，-3）．