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如图,一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=的图象交于A,B两点,与x轴交于...

如图,一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=manfen5.com 满分网的图象交于A,B两点,与x轴交于点C,与y轴交于点D,已知OA=manfen5.com 满分网,tan∠AOC=manfen5.com 满分网,点B的坐标为(m,-2).
(1)求反比例函数的解析式;
(2)求一次函数的解析式;
(3)在y轴上存在一点P,使得△PDC与△ODC相似,请你求出P点的坐标.

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(1)中,因为OA=,tan∠AOC=,则可过A作AE垂直x轴,垂足为E,利用三角函数和勾股定理即可求出AE=1,OE=3,从而可知A(3,1),又因点A在反比例函数y=的图象上,由此可求出开k=3,从而求出反比例函数的解析式. (2)中,因为一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=的图象交于A,B两点,点B的坐标为(m,-2).所以3=-2x. 即m=-,B(-,-2).然后把点A、B的坐标代入一次函数的解析式,得到关于a、b的方程组,解之即可求出a、b的值,最终写出一次函数的解析式. (3)因为在y轴上存在一点P,使得△PDC与△ODC相似,而∠PDC和∠ODC是公共角,所以有△PDC∽△CDO,,而点C、D分别是一次函数y=x-1的图象与x轴、y轴的交点,因此有C(,0)、D(0,-1).OC=,OD=1,DC=. 进而可求出PD=,OP=.写出点P的坐标. 【解析】 (1)过A作AE垂直x轴,垂足为E, ∵tan∠AOC=, ∴OE=3AE ∵OA=,OE2+AE2=10, ∴AE=1,OE=3 ∴点A的坐标为(3,1). ∵A点在双曲线上, ∴, ∴k=3. ∴双曲线的解析式为. (2)∵点B(m,-2)在双曲线上, ∴-2=, ∴m=-. ∴点B的坐标为(-,-2). ∴,∴ ∴一次函数的解析式为y=x-1. (3)过点C作CP⊥AB,交y轴于点P, ∵C,D两点在直线y=x-1上, ∴C,D的坐标分别是:C(,0),D(0,-1). 即:OC=,OD=1, ∴DC=. ∵△PDC∽△CDO, ∴, ∴PD= 又OP=DP-OD= ∴P点坐标为(0,).
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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