Question

如图，已知△ABC∽△A₁B₁C₁，相似比为k（k＞1），且△ABC的三边长分别为a、b、c（a＞b＞c），△A₁B₁C₁的三边长分别为a₁、b₁、c₁．
（1）若c=a₁，求证：a=kc；
（2）若c=a₁，试给出符合条件的一对△ABC和△A₁B₁C₁，使得a、b、c和a₁、b₁、c₁都是正整数，并加以说明；
（3）若b=a₁，c=b₁，是否存在△ABC和△A₁B₁C₁使得k=2？请说明理由．

Answer

（1）已知了两个三角形的相似比为k，则对应边a=ka1，将所给的条件等量代换即可得到所求的结论；
（2）此题是开放题，可先选取△ABC的三边长，然后以c的长作为a1的值，再根据相似比得到△A1B1C1的另外两边的长，只要符合两个三角形的三边及相似比都是整数即可；
（3）首先根据已知条件求出a、b与c的关系，然后根据三角形三边关系定理来判断题目所给出的情况是否成立．
（1）证明：∵△ABC∽△A1B1C1，且相似比为k（k＞1），
∴=k，a=ka1；
又∵c=a1，
∴a=kc；

（2）【解析】
取a=8，b=6，c=4，同时取a1=4，b1=3，c1=2；
此时=2，
∴△ABC∽△A1B1C1且c=a1；

（3）【解析】
不存在这样的△ABC和△A1B1C1，理由如下：
若k=2，则a=2a1，b=2b1，c=2c1；
又∵b=a1，c=b1，
∴a=2a1=2b=4b1=4c；
∴b=2c；
∴b+c=2c+c＜4c，4c=a，b+c＜a，而应该是b+c＞a；
故不存在这样的△ABC和△A1B1C1，使得k=2．