Question

如图，在Rt△ABC中，AB=AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，下列结论中正确的个数有①∠EAF=45°；②△ABE∽△ACD；③AE平分∠CAF；④BE²+DC²=DE²（ ）

A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

Answer

①根据旋转的性质知∠CAD=∠BAF，因为∠BAC=90°，∠DAE=45°，所以∠CAD+∠BAE=45°，可得∠EAF=45°；
②因为∠CAD与∠BAE不一定相等，所以△ABE与△ACD不一定相似；
③根据SAS可证△ADE≌△AFE，得∠AED=∠AEF；DE=EF；
④BF=CD，EF=DE，∠FBE=90°，根据勾股定理判断．
【解析】
①根据旋转的性质知∠CAD=∠BAF．
∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，
∴∠CAD+∠BAE=45°．
∴∠EAF=45°，故①正确；
②因为∠CAD与∠BAE不一定相等，所以△ABE与△ACD不一定相似，故②错误；
③∵AF=AD，∠FAE=∠DAE=45°，AE=AE，
∴△ADE≌△AFE，得∠AED=∠AEF，
即AE平分∠DAF，故③错误；
④∵∠FBE=45°+45°=90°，
∴BE2+BF2=EF2（勾股定理），
∵△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，∴△AFB≌△ADC，∴BF=CD，
又∵EF=DE，
∴BE2+CD2=DE2（等量代换）．故④正确．
故选B．