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在平面直角坐标系中,正方形ABCD的位置如图所示,点A的坐标为(1,0),点D的...

在平面直角坐标系中,正方形ABCD的位置如图所示,点A的坐标为(1,0),点D的坐标为(0,2).延长CB交x轴于点A1,作正方形A1B1C1C;延长C1B1交x轴于点A2,作正方形A2B2C2C1…按这样的规律进行下去,第2010个正方形的面积为( )
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根据相似三角形的判定原理,得出△AA1B∽△A1A2B1,继而得知∠BAA1=∠B1A1A2;利用勾股定理计算出正方形的边长;最后利用正方形的面积公式计算三个正方形的面积,从中找出规律,问题也就迎刃而解了. 【解析】 设正方形的面积分别为S1,S2…S2010, 根据题意,得:AD∥BC∥C1A2∥C2B2, ∴∠BAA1=∠B1A1A2=∠B2A2x(同位角相等). ∵∠ABA1=∠A1B1A2=90°, ∴△BAA1∽△B1A1A2, 在直角△ADO中,根据勾股定理,得:AD=, cot∠DAO==, ∵tan∠BAA1==cot∠DAO, ∴BA1=AB=, ∴CA1=+=×, 同理,得:C1A2=××, 由正方形的面积公式,得:S1=, S2=×,S3=××, 由此,可得Sn=×(1+)2n-2, ∴S2010=5×()2×2010-2, =5×()4018. 故选D
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