Question

图1所示的遮阳伞，伞柄垂直于水平地面，其示意图如图2、当伞收紧时，点P与点A重合；当伞慢慢撑开时，动点P由A向B移动；当点P到达点B时，伞张得最开、已知伞在撑开的过程中，总有PM=PN=CM=CN=6.0分米，CE=CF=18.0分米，BC=2.0分米、设AP=x分米．
（1）求x的取值范围；
（2）若∠CPN=60°，求x的值；
（3）设阳光直射下，伞下的阴影（假定为圆面）面积为y，求y关于x的关系式（结果保留）．

Answer

（1）根据题意，得AC=CN+PN，进一步求得AB的长，即可求得x的取值范围；
（2）根据等边三角形的判定和性质即可求解；
（3）连接MN、EF，分别交AC于B、H．此题根据菱形CMPN的性质求得MB的长，再根据相似三角形的对应边的比相等，求得圆的半径即可．
【解析】
（1）∵BC=2分米，AC=CN+PN=12分米，
∴AB=AC-BC=10分米．
∴x的取值范围是：0≤x≤10．

（2）∵CN=PN，∠CPN=60°，
∴△PCN是等边三角形．
∴CP=6分米．
∴AP=AC-PC=6分米．
即当∠CPN=60°时，x=6．

（3）连接MN、EF，分别交AC于B、H．
∵PM=PN=CM=CN，
∴四边形PNCM是菱形．
∴MN与PC互相垂直平分，AC是∠ECF的平分线，
PB=．
在Rt△MBP中，PM=6分米，
∴MB2=PM2-PB2=62-（6-x）2=6x-x2．
∵CE=CF，AC是∠ECF的平分线，
∴EH=HF，EF⊥AC．
∵∠ECH=∠MCB，∠EHC=∠MBC=90°，
∴△CMB∽△CEH．
∴=．
∴=（）2，
∴EH2=9•MB2=9•（6x-x2）．
∴y=π•EH2=9π（6x-x2），
即y=-πx2+54πx．