Question

如图，先把一矩形ABCD纸片对折，设折痕为MN，再把B点叠在折痕线上，得到△ABE，过B点折纸片使D点叠在直线AD上，得折痕PQ．
（1）求证：△PBE∽△QAB；
（2）你认为△PBE和△BAE相似吗？如果相似给出证明，如不相似请说明理由；
（3）如果沿直线EB折叠纸片，点A是否能叠在直线EC上？为什么？

Answer

（1）通过证明∠ABQ=∠PEB，∠BPE=∠AQB=90°，得出△PBE∽△QAB；
（2）证明，即，∠ABE=∠BPE=90°，得出△PBE∽△BAE；
（3）由∠AEB=∠CEB可知A能叠在直线EC上．
（1）证明：据题意得：PQ⊥AD，
∵∠PBE+∠ABQ=180°-90°=90°，∠PBE+∠PEB=90°，
∴∠ABQ=∠PEB．
又∵∠BPE=∠AQB=90°，
∴△PBE∽△QAB．

（2）【解析】
△PBE和△BAE相似．
证明：∵△PBE∽△QAB，
∴．
∵由折叠可知BQ=PB．
∴，
即．
又∵∠ABE=∠BPE=90°，
∴△PBE∽△BAE．

（3）【解析】
点A能叠在直线EC上．
由（2）得，△PBE∽△BAE
∴∠AEB=∠CEB，
∴沿直线EB折叠纸片，点A能叠在直线EC上．