Question

如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC在第一象限内，E是边OB上的动点（不包括端点），作∠AEF=90°，使EF交矩形的外角平分线BF于点F，设C（m，n）．
（1）若m=n时，如图，求证：EF=AE；
（2）若m≠n时，如图，试问边OB上是否还存在点E，使得EF=AE？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若m=tn（t＞1）时，试探究点E在边OB的何处时，使得EF=（t+1）AE成立？并求出点E的坐标．

Answer

（1）根据m=n，我们可得出四边形AOBC应该是个正方形．要证EF=AE，可通过构建全等三角形来实现，在OA上取点C，使AG=BE，则OG=OE．那么我们的目的就是证三角形ABE和EBF全等，这两个三角形中已知的条件只有AG=BE，我们发现∠AGE和∠EBF都是90+45=135°，而∠GAE和∠FEB都是∠AEO的余角，那么这两组对应角就相等，构成了三角形全等的条件，于是EF=AE了．
（2）可用反证法来求解，方法同（1）类似，也是通过构建全等三角形来求解．作FH⊥x轴于H，假设题目给出的条件成立，通过证明三角形AOE和EHF全等来得出线段相等，即AO=EH，OE=FH，根据FBH=45°，设E（a，0）．那么FH=BH=OE=a，那么不难得出EH=EB+BH=OE+EB=m，又根据AO=EH，m=n，因此不存在点E．
（3）可根据相似三角形来得出线段之间的比例关系来求得．辅助线作法同（2），我们不难证得三角形AOE和FEH相似（根据同角的余角相等和一组直角即可得出相似），那么就能将EF=（t+1）AE转换为FH=（t+1）OE，根据相似我们还可得出关于AO、EH、OE、FH的比例关系，那么就能得出一个关于OE、FH、m、n的关系式，将这式子进行化简，即可得出OE与m、n的关系，便能求出E的坐标了．
【解析】

（1）由题意得m=n时，AOBC是正方形．
如图，在OA上取点G，使AG=BE，
∵正方形OACB，OA=OB，
∴OG=OE．
∴∠EGO=∠GEO=（180°-90°）=45°，从而∠AGE=90°+45°=135°．
由BF是外角平分线，得∠EBF=135°，
∴∠AGE=∠EBF．
∵∠AEF=90°，
∴∠FEB+∠AEO=90°．
在Rt△AEO中，∵∠EAO+∠AEO=90°，
∴∠EAO=∠FEB，
在△AGE和△EBF中
∵
∴△AGE≌△EBF，
EF=AE．

（2）假设存在点E，使EF=AE．设E（a，0）．作FH⊥x轴于H，如图．
由（1）知∠EAO=∠FEH，于是Rt△AOE≌Rt△EHF．
∴FH=OE，EH=OA．
∴点F的纵坐标为a，即FH=a．
由BF是外角平分线，知∠FBH=45°，
∴BH=FH=a．
又由C（m，n）有OB=m，
∴BE=OB-OE=m-a，
∴EH=m-a+a=m．
又EH=OA=n，
∴m=n，这与已知m≠n相矛盾．
因此在边OB上不存在点E，使EF=AE成立．

（3）如（2）图，设E（a，0），FH=h，则EH=OH-OE=h+m-a．
由∠AEF=90°，∠EAO=∠FEH，得△AOE∽△EHF，
∴EF=（t+1）AE等价于FH=（t+1）OE，即h=（t+1）a，
且，即，
整理得nh=ah+am-a2，
∴h=．
把h=（t+1）a代入得=（t+1）a，
即m-a=（t+1）（n-a）．
而m=tn，因此tn-a=（t+1）（n-a）．
化简得ta=n，解得a=．
∵t＞1，
∴＜n＜m，
故E在OB边上．
∴当E在OB边上且离原点距离为处时满足条件，此时E（，0）．