Question

在等边△ABC中，点D为AC上一点，连接BD，直线l与AB，BD，BC分别相交于点E，P，F，且∠BPF=60度．
（1）如图1，写出图中所有与△BPF相似的三角形，并选择其中一对给予证明；
（2）若直线l向右平移到图2，图3的位置时（其它条件不变），（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出来（不证明），若不成立，请说明理由；
（3）探究：如图1，当BD满足什么条件时（其它条件不变），PF=PE？请写出探究结果，并说明理由．
（说明：结论中不得含有未标识的字母）

Answer

（1）△BPF∽△EBF与△BPF∽△BCD这两组三角形都可由一个公共角和一组60°角来证得．
（2）成立，证法同（1）．
（3）先看PF=PE能得出什么结论．根据△BPF∽△EBF，可得BF2=PF•EF=3PF2，因此BF=PF，且∠BPF=60°，∵∠PFB=90°，∴∠PBF=90-60=30°，因此当BD平分∠ABC时，PF=PE．
（1）答：△BPF∽△EBF与△BPF∽△BCD．
以△BPF∽△EBF为例，
证明如下：
∵∠BPF=∠EBF=60°，∠BFP=∠BFE，
∴△BPF∽△EBF．

（2）【解析】
均成立，均为△BPF∽△EBF，△BPF∽△BCD．

（3）BD平分∠ABC时，PF=PE．
证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABP=∠PBF=30°．
∵∠BPF=60°，
∴∠BFP=90°．
∴PF=PB．
又∵∠BEP=∠BPF-∠EBP=60°-30°=30°=∠ABP，
∴BP=EP，
∴PF=PE．