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如图,在△ABC中,AB=5,BC=3,AC=4,动点E(与点A,C不重合)在A...

如图,在△ABC中,AB=5,BC=3,AC=4,动点E(与点A,C不重合)在AC边上,EF∥AB交BC于F点.
(1)当△ECF的面积与四边形EABF的面积相等时,求CE的长;
(2)当△ECF的周长与四边形EABF的周长相等时,求CE的长;
(3)试问在AB上是否存在点P,使得△EFP为等腰直角三角形?若不存在,请简要说明理由;若存在,请求出EF的长.

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(1)因为EF∥AB,所以容易想到用相似三角形的面积比等于相似比的平方解题; (2)根据周长相等,建立等量关系,列方程解答; (3)先画出图形,根据图形猜想P点可能的位置,再找到相似三角形,依据相似三角形的性质解答. 【解析】 (1)∵△ECF的面积与四边形EABF的面积相等 ∴S△ECF:S△ACB=1:2     又∵EF∥AB∴△ECF∽△ACB  == ∵AC=4, ∴CE=; (2)设CE的长为x ∵△ECF∽△ACB ∴= ∴CF= 由△ECF的周长与四边形EABF的周长相等, 得x+EF+x=(4-x)+5+(3-x)+EF 解得 ∴CE的长为; (3)△EFP为等腰直角三角形,有两种情况: ①如图1,假设∠PEF=90°,EP=EF 由AB=5,BC=3,AC=4,得∠C=90° ∴Rt△ACB斜边AB上高CD= 设EP=EF=x,由△ECF∽△ACB,得: = 即= 解得x=,即EF= 当∠EFP´=90°,EF=FP′时,同理可得EF=; ②如图2,假设∠EPF=90°,PE=PF时,点P到EF的距离为EF 设EF=x,由△ECF∽△ACB,得: =,即= 解得x=,即EF= 综上所述,在AB上存在点P,使△EFP为等腰直角三角形,此时EF=或EF=.
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考点分析:
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在平面内,先将一个多边形以点O为位似中心放大或缩小,使所得多边形与原多边形对应线段的比为k,并且原多边形上的任一点P,它的对应点P′在线段OP或其延长线上;接着将所得多边形以点O为旋转中心,逆时针旋转一个角度θ,这种经过和旋转的图形变换叫做旋转相似变换,记为O(k,θ),其中点O叫做旋转相似中心,k叫做相似比,θ叫做旋转角.
(1)填空:
①如图1,将△ABC以点A为旋转相似中心,放大为原来的2倍,再逆时针旋转60°,得到△ADE,这个旋转相似变换记为A(____________);
②如图2,△ABC是边长为1cm的等边三角形,将它作旋转相似变换A(manfen5.com 满分网,90°),得到△ADE,则线段BD的长为______cm;
(2)如图3,分别以锐角三角形ABC的三边AB,BC,CA为边向外作正方形ADEB,BFGC,CHIA,点O1,O2,O3分别是这三个正方形的对角线交点,试分别利用△AO1O3与△ABI,△CIB与△CAO2之间的关系,运用旋转相似变换的知识说明线段O1O3与AO2之间的关系.manfen5.com 满分网
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已知:如图①,②,在矩形ABCD中,AB=4,BC=8,P,Q分别是边BC,CD上的点.
(1)如图①,若AP⊥PQ,BP=2,求CQ的长;
(2)如图②,若manfen5.com 满分网,且E,F,G分别为AP,PQ,PC的中点,求四边形EPGF的面积.

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如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD是BC边上的高,E是BC边上的一个动点(不与B,C重合),EF⊥AB,EG⊥AC,垂足分别为F,G.
(1)求证:manfen5.com 满分网
(2)FD与DG是否垂直?若垂直,请给出证明;若不垂直,请说明理由;
(3)当AB=AC时,△FDG为等腰直角三角形吗?并说明理由.

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如图,已知⊙O的弦CD垂直于直径AB,点E在CD上,且EC=EB.
(1)求证:△CEB∽△CBD;
(2)若CE=3,CB=5,求DE的长.

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已知:等腰Rt△ABC中,∠A=90°,
(1)如图1,E为AB上任意一点,以CE为斜边作等腰Rt△CDE,连接AD,则有AD∥BC;
(2)若将等腰Rt△ABC改为正△ABC,如图2所示,E为AB边上任一点,△CDE为正三角形,连接AD,上述结论还成立吗?答______
(3)若△ABC为任意等腰三角形,AB=AC,如图3,E为AB上任一点,△DEC∽△ABC,连接AD,请问AD与BC的位置关系怎样?答:______
请你在上述3个结论中,任选一个结论进行证明.

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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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