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把两块全等的直角三角形ABC和DEF叠放在一起,使三角板DEF的锐角顶点D与三角...

把两块全等的直角三角形ABC和DEF叠放在一起,使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合,其中∠ABC=∠DEF=90°,∠C=∠F=45°,AB=DE=4,把三角板ABC固定不动,让三角板DEF绕点O旋转,设射线DE与射线AB相交于点P,射线DF与线段BC相交于点Q.
(1)如图1,当射线DF经过点B,即点Q与点B重合时,易证△APD∽△CDQ.此时,AP•CQ=______
(2)将三角板DEF由图1所示的位置绕点O沿逆时针方向旋转,设旋转角为α.其中0°<α<90°,问AP•CQ的值是否改变?说明你的理由;
(3)在(2)的条件下,设CQ=x,两块三角板重叠面积为y,求y与x的函数关系式.(图2,图3供解题用)

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(1)可通过证△APD∽△CDQ来求解. (2)不会改变,关键是还是证△APD∽△CDQ,已知了一组45°角,关键是证(1)中的∠APD=∠QDC,由于图2由图1旋转而得,根据旋转的性质可设旋转角为α,那么∠APD=90°-α,∠CDQ=90°-α,因此两角相等.由此可证得两三角形相似.因此结论不变. (3)本题分类两种情况进行讨论:①当0°<α<45°时②当45°≤α<90°时. 【解析】 (1)∵∠A=∠C=45°,∠APD=∠QDC=90°, ∴△APD∽△CDQ. ∴AP:CD=AD:CQ. ∴即AP×CQ=AD×CD, ∵AB=BC=4, ∴斜边中点为O, ∴AP=PD=2, ∴AP×CQ=2×4=8; 故答案为:8. (2)AP•CQ的值不会改变. 理由如下: ∵在△APD与△CDQ中,∠A=∠C=45°, ∠APD=180°-45°-(45°+α)=90°-α, ∠CDQ=90°-α, ∴∠APD=∠CDQ. ∴△APD∽△CDQ. ∴. ∴AP•CQ=AD•CD=AD2=(AC)2=8. (3)情形1:当0°<α<45°时,2<CQ<4,即2<x<4, 此时两三角板重叠部分为四边形DPBQ,过D作DG⊥AP于G,DN⊥BC于N, ∴DG=DN=2 由(2)知:AP•CQ=8得AP= 于是y=AB•BC-CQ•DN-AP•DG =8-x-(2<x<4) 情形2:当45°≤α<90°时,0<CQ≤2时,即0<x≤2,此时两三角板重叠部分为△DMQ, 由于AP=,PB=-4,易证:△PBM∽△DNM, ∴即解得. ∴MQ=4-BM-CQ=4-x-. 于是y=MQ•DN=4-x-(0<x≤2). 综上所述,当2<x<4时,y=8-x-. 当0<x≤2时,y=4-x-(或y=).
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考点分析:
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如图,四边形ABCD内接于⊙O,AC与BD相交于点E,AB=CD.
(1)求证:AC=BD;
(2)若F是⊙O上一点,且manfen5.com 满分网,AF的延长线与DB的延长线交于点P,求证:ED2=EB•EP.

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如图,在平行四边形ABCD中,过点B作BE⊥CD于E,F为AE上一点,且∠BFE=∠C.
(1)求证:△ABF∽△EAD;
(2)若AB=5,AD=3,∠BAE=30°,求BF的长.

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如图,在△ABC中,AB=AC=1,点D,E在直线BC上运动.设BD=x,CE=y.
(1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y与x之间的函数关系式;
(2)如果∠BAC=α,∠DAE=β,当α,β满足怎样的关系时,(1)中y与x之间的函数关系式还成立?试说明理由.

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已知,如图,AD为Rt△ABC斜边BC上的高,点E为DA延长线上一点,连接BE,过点C作CF⊥BE于点F,交AB、AD于M、N两点.
(1)若线段AM、AN的长是关于x的一元二次方程x2-2mx+n2-mn+manfen5.com 满分网m2=0的两个实数根,求证:AM=AN;
(2)若AN=manfen5.com 满分网,DN=manfen5.com 满分网,求DE的长;
(3)若在(1)的条件下,S△AMN:S△ABE=9:64,且线段BF与EF的长是关于y的一元二次方程5y2-16ky+10k2+5=0的两个实数根,求BC的长.

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如图,已知:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,sinB=manfen5.com 满分网,D是BC上一点,DE⊥AB,垂足为E,CD=DE,AC+CD=9.求BC的长.

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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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