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取一副三角板按图①拼接,固定三角板ADC,将三角板ABC绕点A依顺时针方向旋转一...

取一副三角板按图①拼接,固定三角板ADC,将三角板ABC绕点A依顺时针方向旋转一个大小为α的角(0°<α≤45°)得到△ABC′,如图所示.
试问:
(1)当α为多少度时,能使得图②中AB∥DC;
(2)当旋转至图③位置,此时α又为多少度图③中你能找出哪几对相似三角形,并求其中一对的相似比;
(3)连接BD,当0°<α≤45°时,探寻∠DBC′+∠CAC′+∠BDC值的大小变化情况,并给出你的证明.
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一副三角板的角度常识和相似三角形的判定定理及性质可求解. 【解析】 (1)如图②,由题意∠CAC'=α, 要使AB∥DC,须∠BAC=∠ACD, ∴∠BAC=30°. ∴α=∠CAC'=∠BAC'-∠BAC=45°-30°=15°. 即α=15°时,能使得AB∥DC.(4分) (2)易得α=45°时,可得图③, 此时,若记DC与AC',BC'分别交于点E,F, 则共有两对相似三角形:△BFC∽△ADC,△C'FE∽△ADE.(6分) 下求△BFC与△ADC的相似比: 在图③中,设AB=a,则易得AC=a. 则BC=(-1)a,BC:AC=(-1)a:a=1:(2+) 或(2-):2.(8分) 注:△C'FE与△ADE的相似比为:C'F:AD=(-+1):或(+-2):2. (3)解法一: 当0°<α≤45°时,总有△EFC'存在. ∵∠EFC'=∠BDC+∠DBC',∠CAC'=α,∠FEC'=∠C+α, ∵∠EFC'+∠FEC'+∠C'=180° ∴∠BDC+∠DBC'+∠C+α+∠C'=180°(11分) 又∵∠C'=45°,∠C=30° ∴∠DBC'+∠CAC'+∠BDC=105°(13分) 解法二: 在图②中,BD分别交AC,AC'于点M,N, 由于在△AMN中,∠CAC'=α,∠AMN+∠CAC'+∠ANM=180°, ∴∠BDC+∠C+α+∠DBC'+∠C'=180° ∴∠BDC+30°+α+∠DBC'+45°=180° ∴∠BDC+α+∠DBC'=105°(11分) 在图③中,α=∠CAC'=45° 易得∠DBC'+∠BDC=60° 也有∠DBC'+∠CAC'+∠BDC=105° 综上,当0°<a≤45°时,总有∠DBC'+∠CAC'+∠BDC=105°.(13分)
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考点分析:
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(Ⅰ)如图1,点P在平行四边形ABCD的对角线BD上,一直线过点P分别交BA,BC的延长线于点Q,S,交AD,CD于点R,T.求证:PQ•PR=PS•PT;
(Ⅱ)如图2,图3,当点P在平行四边形ABCD的对角线BD或DB的延长线上时,PQ•PR=PS•PT是否仍然成立?若成立,试给出证明;若不成立,试说明理由(要求仅以图2为例进行证明或说明);
(Ⅲ)如图4,ABCD为正方形,A,E,F,G四点在同一条直线上,并且AE=6cm,EF=4cm,试以(Ⅰ)所得结论为依据,求线段FG的长度.
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把两块全等的直角三角形ABC和DEF叠放在一起,使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合,其中∠ABC=∠DEF=90°,∠C=∠F=45°,AB=DE=4,把三角板ABC固定不动,让三角板DEF绕点O旋转,设射线DE与射线AB相交于点P,射线DF与线段BC相交于点Q.
(1)如图1,当射线DF经过点B,即点Q与点B重合时,易证△APD∽△CDQ.此时,AP•CQ=______
(2)将三角板DEF由图1所示的位置绕点O沿逆时针方向旋转,设旋转角为α.其中0°<α<90°,问AP•CQ的值是否改变?说明你的理由;
(3)在(2)的条件下,设CQ=x,两块三角板重叠面积为y,求y与x的函数关系式.(图2,图3供解题用)

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如图,四边形ABCD内接于⊙O,AC与BD相交于点E,AB=CD.
(1)求证:AC=BD;
(2)若F是⊙O上一点,且manfen5.com 满分网,AF的延长线与DB的延长线交于点P,求证:ED2=EB•EP.

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如图,在平行四边形ABCD中,过点B作BE⊥CD于E,F为AE上一点,且∠BFE=∠C.
(1)求证:△ABF∽△EAD;
(2)若AB=5,AD=3,∠BAE=30°,求BF的长.

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如图,在△ABC中,AB=AC=1,点D,E在直线BC上运动.设BD=x,CE=y.
(1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y与x之间的函数关系式;
(2)如果∠BAC=α,∠DAE=β,当α,β满足怎样的关系时,(1)中y与x之间的函数关系式还成立?试说明理由.

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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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