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如图1,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,顶点D,C分别在AM,BN上运动(点D...

如图1,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,顶点D,C分别在AM,BN上运动(点D不与A重合,点C不与B重合),E是AB上的动点(点E不与A,B重合),在运动过程中始终保持DE⊥CE,且AD+DE=AB=a.
(1)求证:△ADE∽△BEC;
(2)当点E为AB边的中点时(如图2),求证:①AD+BC=CD;②DE,CE分别平分∠ADC,∠BCD;
(3)设AE=m,请探究:△BEC的周长是否与m值有关,若有关请用含m的代数式表示△BEC的周长;若无关请说明理由.
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(1)∠A=∠D=90°,然后利用∠DEC=90°得到∠AED=∠ECB,这样就可以证明△ADE∽△BEC; (2)过点E作梯形两底的平行线交腰CD于F,则F是CD的中点,然后利用梯形的中位线就可以证明①和②; (3)主要利用(1)中的相似三角形带来的比例线段和勾股定理解题. (1)证明:∵梯形ABCD是直角梯形 ∴∠A=∠B=90° 又∵∠DEC=90° ∴∠AED+∠BEC=90° ∵∠BEC+∠BCE=90° ∴∠AED=∠BCE ∴△ADE∽△BEC (2)证明:过点E作EF∥AD,交CD于F,则EF既是梯形ABCD的中位线,又是Rt△DEC斜边上的中线. ∵AD+BC=2EF,CD=2EF ∴AD+BC=CD ∵FD=FE=CD ∴∠FDE=∠FED ∵EF∥AD ∴∠ADE=∠FED ∴∠FDE=∠ADE,即DE平分∠ADC 同理可证:CE平分∠BCD (3)【解析】 设AD=x,由已知AD+DE=AB=a得DE=a-x,又AE=m 在Rt△AED中,由勾股定理得:x2+m2=(a-x)2,化简整理得:a2-m2=2ax① 在△EBC中,由AE=m,AB=a,得BE=a-m 因为△ADE∽△BEC,所以, 即:, 解得: 所以△BEC的周长=BE+BC+EC= == =② 把①式代入②,得△BEC的周长=BE+BC+EC= 所以△BEC的周长与m无关.
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考点分析:
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取一副三角板按图①拼接,固定三角板ADC,将三角板ABC绕点A依顺时针方向旋转一个大小为α的角(0°<α≤45°)得到△ABC′,如图所示.
试问:
(1)当α为多少度时,能使得图②中AB∥DC;
(2)当旋转至图③位置,此时α又为多少度图③中你能找出哪几对相似三角形,并求其中一对的相似比;
(3)连接BD,当0°<α≤45°时,探寻∠DBC′+∠CAC′+∠BDC值的大小变化情况,并给出你的证明.
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(Ⅰ)如图1,点P在平行四边形ABCD的对角线BD上,一直线过点P分别交BA,BC的延长线于点Q,S,交AD,CD于点R,T.求证:PQ•PR=PS•PT;
(Ⅱ)如图2,图3,当点P在平行四边形ABCD的对角线BD或DB的延长线上时,PQ•PR=PS•PT是否仍然成立?若成立,试给出证明;若不成立,试说明理由(要求仅以图2为例进行证明或说明);
(Ⅲ)如图4,ABCD为正方形,A,E,F,G四点在同一条直线上,并且AE=6cm,EF=4cm,试以(Ⅰ)所得结论为依据,求线段FG的长度.
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把两块全等的直角三角形ABC和DEF叠放在一起,使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合,其中∠ABC=∠DEF=90°,∠C=∠F=45°,AB=DE=4,把三角板ABC固定不动,让三角板DEF绕点O旋转,设射线DE与射线AB相交于点P,射线DF与线段BC相交于点Q.
(1)如图1,当射线DF经过点B,即点Q与点B重合时,易证△APD∽△CDQ.此时,AP•CQ=______
(2)将三角板DEF由图1所示的位置绕点O沿逆时针方向旋转,设旋转角为α.其中0°<α<90°,问AP•CQ的值是否改变?说明你的理由;
(3)在(2)的条件下,设CQ=x,两块三角板重叠面积为y,求y与x的函数关系式.(图2,图3供解题用)

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如图,四边形ABCD内接于⊙O,AC与BD相交于点E,AB=CD.
(1)求证:AC=BD;
(2)若F是⊙O上一点,且manfen5.com 满分网,AF的延长线与DB的延长线交于点P,求证:ED2=EB•EP.

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如图,在平行四边形ABCD中,过点B作BE⊥CD于E,F为AE上一点,且∠BFE=∠C.
(1)求证:△ABF∽△EAD;
(2)若AB=5,AD=3,∠BAE=30°,求BF的长.

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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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