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如图,已知A(-4,0),B(0,4),现以A点为位似中心,相似比为9:4,将O...

如图,已知A(-4,0),B(0,4),现以A点为位似中心,相似比为9:4,将OB向右侧放大,B点的对应点为C.
(1)求C点坐标及直线BC的解析式;
(2)一抛物线经过B、C两点,且顶点落在x轴正半轴上,求该抛物线的解析式并画出函数图象;
(3)现将直线BC绕B点旋转与抛物线相交于另一点P,请找出抛物线上所有满足到直线AB距离为manfen5.com 满分网的点P.

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(1)利用相似及相似比,可得到C的坐标.把A,B代入一次函数解析式即可求得解析式的坐标. (2)顶点落在x轴正半轴上说明此函数解析式与x轴有一个交点,那么△=0,再把B,C两点即可. (3)到直线AB的距离为的直线有两条,可求出这两条直线解析式,和二次函数解析式组成方程组,求得点P坐标. 【解析】 (1)过C点向x轴作垂线,垂足为D,由位似图形性质可知△ABO∽△ACD, ∴. 由已知A(-4,0),B(0,4)可知 AO=4,BO=4. ∴AD=CD=9, ∴C点坐标为(5,9), 设直线BC的解析式为y=kx+b, ∵A(-4,0),B(0,4)在一次函数解析式上,那么 -4k+b=0,b=4, 解得k=1, 化简得y=x+4; (2)设抛物线解析式为y=ax2+bx+c(a>0),由题意得, 解得,, ∴解得抛物线解析式为y1=x2-4x+4或y2=x2+x+4, 又∵y2=x2+x+4的顶点在x轴负半轴上,不合题意,故舍去. ∴满足条件的抛物线解析式为y=x2-4x+4, (准确画出函数y=x2-4x+4图象) (3)将直线BC绕B点旋转与抛物线相交于另一点P,设P到直线AB的距离为h, 故P点应在与直线AB平行,且相距的上下两条平行直线l1和l2上. 由平行线的性质可得 两条平行直线与y轴的交点到直线BC的距离也为. 如图,设l1与y轴交于E点,过E作EF⊥BC于F点, 在Rt△BEF中EF=h=,∠EBF=∠ABO=45°, ∴BE=6. ∴可以求得直线l1与y轴交点坐标为(0,10), 同理可求得直线l2与y轴交点坐标为(0,-2), ∴两直线解析式l1:y=x+10;l2:y=x-2. 根据题意列出方程组: (1);(2), 解得;;;, ∴满足条件的点P有四个, 它们分别是P1(6,16),P2(-1,9),P3(2,0),P4(3,1).
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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