Question

在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒．
（1）求直线AB的解析式；
（2）当t为何值时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似？
（3）当t=2秒时，四边形OPQB的面积多少个平方单位？

Answer

（1）已知直线经过点A，B就可以利用待定系数法求出函数的解析式．
（2）以点A、P、Q为顶点的三角形△AOB相似，应分△APQ∽△AOB和△AQP∽△AOB两种情况讨论，根据相似三角形的对应边的比相等，就可以求出t的值．
（3）过点Q作QM⊥OA于M，△AMQ∽△AOB就可以求出QM的值，就可以求出面积．
【解析】
（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，
将点A（0，6）、点B（8，0）代入得，
解得，
直线AB的解析式为：y=-x+6．

（2）设点P、Q移动的时间为t秒，OA=6，OB=8，
∴勾股定理可得，AB=10，
∴AP=t，AQ=10-2t．
分两种情况，
①当△APQ∽△AOB时，
，，t=，
②当△AQP∽△AOB时，，，
t=，
综上所述，当t=或时，
以点A、P、Q为顶点的三角形△AOB相似．

（3）当t=2秒时，四边形OPQB的面积，
AP=2，AQ=6，过点Q作QM⊥OA于M，
易得△AMQ∽△AOB，
∴，，
解得QM=4.8，
∴△APQ的面积为：AP×QM=×2×4.8=4.8（平方单位），
∴四边形OPQB的面积为：S△AOB-S△APQ=24-4.8=19.2（平方单位）．