Question

如图，在△ABC的外接圆O中，D是的中点，AD交BC于点E，连接BD．
（1）列出图中所有相似三角形；
（2）连接DC，若在上任取一点K（点A，B，C除外），连接CK，DK，DK交BC于点F，DC²=DF•DK是否成立？若成立，给出证明；若不成立，举例说明．

Answer

（1）根据相似三角形的判定可以得到相似三角形共有三对；
（2）先根据已知作图，通过证明△KDC∽△CDF，再根据相似三角形的对应边成比例即可得到DC2=DF•DK．
【解析】
（1）△BDE∽△CAE，△DBE∽△DAB，△ABD∽△AEC．

（2）DC2=DF•DK成立．
证明：∵D是的中点，
∴=，
∴∠DBC=∠DCB（等弧的圆周角相等），
又∵∠DBC=∠DKC，
∴∠DCB=∠DKC，
又∵∠KDC=∠CDF，
∴△KDC∽△CDF，
∴，
∴DC2=DF•DK．