Question

已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，点P在AC上，且∠MPN=90°．当点P为线段AC的中点，点M、N分别在线段AB、BC上时（如图1），过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F，可证Rt△PME∽Rt△PNF，得出PN=PM．（不需证明）当PC=PA，点M、N分别在线段AB、BC或其延长线上，如图2、图3这两种情况时，请写出线段PN、PM之间的数量关系，并任选取一给予证明．

Answer

图2和图3的结论一致，求解的方法也相同，以图2为例：过P作PE⊥AB于E，作PF⊥BC于F，仿照题干的做法，先证△PEM∽△PFN，得PN：PM=PF：PE；在Rt△ABC中，PF=PC，PE=PA，联立PC、PA的比例关系，即可得到PF：PE的值，从而求得PN、PM的比例关系．
【解析】

如图2，如图3中都有结论：PN=PM．（2分）
选如图2：在Rt△ABC中，过点P作PE⊥AB于E，PF⊥BC于点F；
∴四边形BFPE是矩形，∴∠EPF=90°，
∵∠EPM+∠MPF=∠FPN+∠MPF=90°，
可知∠EPM=∠FPN，∴△PFN∽△PEM，（2分）
∴=；（1分）
又∵Rt△AEP和Rt△PFC中：∠A=30°，∠C=60°，
∴PF=PC，PE=PA，（1分）
∴==；（1分）
∵PC=PA，∴=，即：PN=PM．（1分）
若选如图3，其证明过程同上（其他方法如果正确，可参照给分）