Question

如图所示，在△ABC中，∠C=90°，D为BC边的中点，DE⊥AB于E，则AE²-BE²等于（ ）

A．AC²
B．BD²
C．BC²
D．DE²

Answer

取AB的中点F，连接DF．观察要求的式子，首先利用平方差公式进行转换，可得AE2-BE2=（AE+BE）（AE-BE）=AB•2EF=4EF•BF，只需求解BF•EF的值；
根据射影定理，易证△DEF∽△BDF，得到EF•BF=DF2．再进一步观察选择题的答案，结合三角形的中位线定理即可求解．
【解析】
作AB的中点F，连接DF，

则DF∥AC，DF=AC．
在Rt△BDF中，又DE⊥AB，得△DEF∽△BDF．
∴．
即EF•BF=DF2=AC2．
∴AE2-BE2=（AE+BE）（AE-BE）=AB•2EF=4EF•BF=AC2．
故选A．