Question

如图，在梯形ABCD中，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，如果直线AB上的点P使得以P、A、D为顶点的三角形与以P、B、C为顶点的三角形相似，那么这样的点P有    个．

Answer

分三种情况进行分析即可：①若点P在线段AB上；②若点P在线段BA的延长线上；③若点P在线段AB的延长线上．
【解析】
①若点P在线段AB上，

∵∠A=∠B=90°
∴当时，△PAD∽△PBC
∴，解得PA=x=；
当时，△PAD∽△CBP
∴，
∴x2-7x+6=0，
∴（x-6）（x-1）=0，
解得：PA=x=1或6；

②若点P在线段BA的延长线上，

∵∠PAD=∠B=90°
当PA：PB=AD：BC时，△PAD∽△PBC
∴，解得：PA=x=14；

当时，△PAD∽△CBP
∴，
∴x2+7x-6=0，
解得：PA=x=；

③

若点P在线段AB的延长线上，
∵∠A=∠CBP=90°
∴当AD：PB=PA：BC时，△PAD∽△CBP
∴，
∴x2-7x-6=0，
解得：PA=x=，
综上，满足题意的P有6种情况．